7 / 18
Далее, из условия
H
(
t
к
) = 0
составим дополнительное уравнение,
связывающее неизвестные параметры в конечной точке траектории,
dV
dt
+
dθ
dt
Ψ
2
+
dh
dt
Ψ
4
= 0
.
(9)
В результате задача определения оптимального управления, обес-
печивающего максимум скорости при вылете КА из атмосферы, сво-
дится к решению пятипараметрической краевой задачи для дифферен-
циальных уравнений (1), (6) и краевых условий (3)–(5), (7)–(9).
Как было отмечено ранее, решение такого типа задач классически-
ми методами сопряжено со значительными трудностями. Для упроще-
ния поиска оптимальной структуры управления КА разработан следу-
ющий аналитический метод.
Метод расчета оптимальных траекторий.
При разработке ана-
литического метода использовались общеизвестные допущения, обо-
снованные в ряде работ [5, 7, 12, 14, 15]:
h R, ρ
=
ρ
0
exp (
−
βh
)
, F
к
+
F
ц
F
гр
F
а
,
где
F
к
,
F
ц
,
F
гр
,
F
a
— кориолисова, центробежная, гравитационная и
аэродинамическая силы соответственно;
ρ
0
— плотность атмосферы на
поверхности планеты;
β
— логарифмический коэффициент изменения
плотности атмосферы от высоты.
В результате система (1) перепишется в виде
dV
dt
=
−
ρV
2
C
x
S
2
m
,
dθ
dt
=
ρV C
y
S
2
m
cos
γ
−
ρV M
1
;
dε
dt
=
ρV C
y
S
2
m
sin
γ
cos
θ
−
ρV M
2
,
dh
dt
=
V
sin
θ
;
dλ
dt
=
V
R
cos
θ
cos
ε
cos
ϕ
,
dϕ
dt
=
V
R
cos
θ
sin
ε
;
M
1
=
gR
V
2
−
1
cos
θ
ρR
, M
2
=
cos
θ
cos
ε
tg
ϕ
ρR
.
(10)
Следуя [5, 15], будем считать
M
1
и
M
2
— кусочно-постоянными функ-
циями.
Введем замены переменных
dt
=
−
dV
2
m
ρV
2
C
x
S
, z
=
−
ln
V
0
.
Это позволит без введения дополнительных допущений упростить
анализ уравнений сопряженных переменных и законов оптимального
управления.
10 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2015. № 6