8 / 18
В результате получим систему, не содержащую в явном виде аргу-
мент
z
:
dθ
dz
=
C
y
C
x
cos
γ
−
2
mM
1
C
x
S
,
dε
dz
=
C
y
C
x
sin
γ
cos
θ
−
2
mM
2
C
x
S
,
dρ
dz
=
−
2
mβ
sin
θ
C
x
S
,
dλ
dz
=
2
m
cos
θ
cos
ε
ρRC
x
S
cos
ϕ
,
dϕ
dz
=
2
m
cos
θ
sin
ε
ρRC
x
S
.
(11)
Отметим, что при движении КА в атмосфере аргумент
z
возрастает.
Для определения оптимальных законов управления параметрами
α
и
γ
воспользуемся принципом максимума Понтрягина [18]. При
z
0
≥
z
≥
z
к
гамильтониан и система уравнений сопряженных пере-
менных запишутся следующим образом:
H
= Ψ
0
+
C
y
C
x
cos
γ
Ψ
1
−
2
mM
1
C
x
S
Ψ
1
+
C
y
C
x
sin
γ
cos
θ
Ψ
2
−
2
mM
2
C
x
S
Ψ
2
−
−
2
mβ
sin
θ
C
x
S
Ψ
3
+
2
m
cos
θ
cos
ε
ρRC
x
S
cos
ϕ
Ψ
4
+
2
m
cos
θ
sin
ε
ρRC
x
S
Ψ
5
;
(12)
d
Ψ
1
dz
=
−
∂H
∂θ
=
−
C
y
C
x
sin
γ
sin
θ
cos
2
θ
Ψ
2
+
2
mβ
cos
θ
C
x
S
Ψ
3
+
+
2
m
sin
θ
cos
ε
ρRC
x
S
cos
ϕ
Ψ
4
+
2
m
sin
θ
sin
ε
ρRC
x
S
Ψ
5
;
d
Ψ
2
dz
=
−
∂H
∂ε
=
2
m
cos
θ
sin
ε
ρRC
x
S
cos
ϕ
Ψ
4
−
2
m
cos
θ
cos
ε
ρRC
x
S
Ψ
5
;
(13)
d
Ψ
3
dz
=
−
∂H
∂ρ
=
2
m
cos
θ
cos
ε
ρ
2
RC
x
S
cos
ϕ
Ψ
4
+
2
m
cos
θ
sin
ε
ρ
2
RC
x
S
Ψ
5
;
d
Ψ
4
dz
=
−
∂H
∂λ
= 0
,
d
Ψ
5
dz
=
−
∂H
∂ϕ
=
−
2
m
cos
θ
cos
ε
sin
ϕ
ρRC
x
S
cos
2
ϕ
Ψ
4
.
При использовании в качестве аргумента параметра
z
, согласно
[19], в систему (11) вводится дополнительное дифференциальное урав-
нение
dz/dz
= 1
. В связи с тем, что правые части этой системы не
содержат в явном виде аргумент
z
, соответствующее уравнение для
сопряженной переменной
Ψ
0
определяется формулой
d
Ψ
0
/dz
= 0
.
Согласно сделанному предположению, в уравнения (11)–(13) вхо-
дят кусочно-постоянные разрывные функции
M
1
,
M
2
. Однако в силу
теоремы Вейерштрасса – Эрдмана [19] наличие разрывов в правых ча-
стях уравнений не нарушает непрерывности гамильтониана и сопря-
женных переменных:
Ψ
i
[
z
j
+
O
(
z
)] = Ψ
i
[
z
j
−
O
(
z
)]
, H
[
z
j
+
O
(
z
)] =
H
[
z
j
−
O
(
z
)]
,
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение” 2015. № 6 11