Background Image
Previous Page  5 / 15 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 5 / 15 Next Page
Page Background

где

η

k

=

tg

2

ϑ

/2

2(

k

+ 1)

+

ctg

2

ϑ

/2

2(

k

1)

+

1

k

.

Общее решение системы (7) получено авторами (см. (2)).

Из (3) с учетом (8) следует, что

θ

(

Б

)

1

,k

=

C

1

,k

1 +

μ

2

Eh

k

+ cos

ϑ

k

2

1

tg

k

ϑ

/2

sin

ϑ

.

(9)

Далее, с учетом (8) аналогичным (5) способом могут быть найдены

моменты

M

(

Б

)

1

,k

,

M

(

Б

)

2

,k

,

H

(

Б

)

k

. Однако можно показать, что для тонких

оболочек тангенциальные силы имеют более высокий порядок, чем

моменты. Таким образом, моментами, полученными согласно переме-

щениям (8), можно пренебречь.

Для получения решения типа простой (по А.Л. Гольденвейзеру)

краевой эффект делается ряд предположений, позволяющих упростить

уравнения равновесия и геометрические уравнения теории оболочек.

В частности предполагается, что изменяемость напряженного состоя-

ния в направлении нормали к краю оболочки существенно выше, чем

вдоль края — дифференцирование по

ϕ

, если и приводит к увеличению

искомых функций

f

, то не к такому значительному, как дифференци-

рование по

ϑ

, т.е.

|

∂f

/

∂ϑ

|

|

∂f

/

∂ϕ

|

,

|

∂f

/

∂ϑ

|

|

f

|

.

Решению по теории простого краевого эффекта принято приписы-

вать верхний индекс

(

К

)

.

Воспользовавшись [1], запишем известные соотношения теории

N

(К)

1

,k

=

P

R

3

d

3

U

(К)

3

,k

3

ctg

ϑ

;

N

(

К

)

2

,k

=

Eh

R

U

(

К

)

3

,k

;

Q

(

К

)

1

,k

=

D

R

3

d

3

U

(

К

)

3

,k

3

;

S

(

К

)

k

=

D

R

3

k

sin

ϑ

d

3

U

(

К

)

3

,k

3

;

M

(

К

)

1

,k

=

D

R

2

d

2

U

(

К

)

3

,k

2

;

M

(

К

)

2

,k

=

μM

(

К

)

1

,k

(10)

и разрешающее уравнение

d

4

U

(

К

)

3

,k

.

4

+ 4

λ

4

U

(

К

)

3

,k

= 0

, где

λ

4

=

=

EhR

2

/4

D

, решением которого в рассматриваемом случае является

U

(

К

)

3

,k

=

e

λ

(

ϑ

0

ϑ

)

{

C

3

,k

cos [

λ

(

ϑ

0

ϑ

)] +

C

4

,k

sin [

λ

(

ϑ

0

ϑ

)]

}

,

(11)

где

ϑ

0

— меридиональная координата края оболочки. Учтено, что в [1]

рассматривается оболочка с толщиной стенки

2

h

.

Угол поворота определим с учетом принятых гипотез из геометри-

ческих уравнений (3)

θ

(

К

)

1

,k

=

dU

(

К

)

3

,k

.

Rdϑ.

(12)

ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение” 2015. № 3 123