2 / 15
а второе имеет местный характер и локализуется вблизи края оболоч-
ки или в местах резкого изменения ее геометрии или нагрузки, т.е.
предполагается, что существенно различающиеся по своим свойствам
составляющие напряженного состояния должны описываться разными
дифференциальными уравнениями.
Такую модель механики деформирования оболочки называют
асимптотической, как соответствующую реальному явлению с умень-
шением толщины оболочки [1–3]. При этом численных оценок по-
грешности асимптотического решения до настоящего времени не
получено.
Таким образом, актуальна задача определения значений погрешно-
сти асимптотической модели в зависимости от толщины оболочки и,
следовательно, пределов ее использования для расчета на прочность
сферических баков.
Задача решается на примере деформирования сферической оболоч-
ки под действием локальной нагрузки путем сопоставления значений
внутренних силовых факторов, вычисленных по асимптотической мо-
дели и эталонной модели — модели [4], построенной с погрешностью
допущений Кирхгофа теории оболочек, в развитие результатов иссле-
дований Института механики АН УССР [5].
Рассмотрим изотропную сферическую оболочку постоянной тол-
щины
h
с радиусом кривизны срединной поверхности
R
в географи-
ческой системе координат
(
ϑ, ϕ
)
.
Обозначения искомых параметров задачи соответствуют принятым
в книге [6]:
ε
1
,
ε
2
,
ω
,
χ
1
,
χ
2
,
τ
— параметры деформации оболочки,
связанные с перемещениями
U
1
,
U
2
,
U
3
точек ее срединной поверхно-
сти по направлениям ортов:
e
1
— меридиональному,
e
2
— окружному,
e
3
— радиальному направлениям;
θ
1
,
θ
2
— углы поворота нормали к по-
верхности оболочки в проекциях на плоскости
e
1
e
3
и
e
2
e
3
;
N
1
,
N
2
,
S
,
Q
1
,
Q
2
— меридиональная и окружная силы, сила сдвига и поперечные
силы;
M
1
,
M
2
,
H
– изгибающие и крутящий моменты.
Асимптотическая модель.
Уравнения асимптотической модели
[1], описывающие медленно меняющуюся часть напряженного состо-
яния, получим как частный случай общей теории оболочек.
Предположим, что оболочка точно или приближенно деформирует-
ся без растяжения срединной поверхности, т.е. линейные деформации
и сдвиг в срединной поверхности оболочки
ε
1
=
ε
2
=
ω
= 0
. С учетом
этого из геометрических уравнений теории оболочек следует
∂U
1
∂ϑ
+
U
3
= 0;
1
sin
ϑ
∂U
2
∂ϕ
+
U
1
ctg
ϑ
+
U
3
= 0;
1
sin
ϑ
∂U
1
∂ϕ
+
∂U
2
∂ϑ
−
U
2
ctg
ϑ
= 0
.
(1)
120 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2015. № 3