Background Image
Previous Page  4 / 15 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 4 / 15 Next Page
Page Background

M

(M)

1

,k

=

C

1

,k

D

(1

μ

)

k

(

k

2

1)

tg

k

ϑ

/2

R

2

sin

2

ϑ

;

M

(M)

2

,k

=

H

(M)

k

=

M

(M)

1

,k

.

(5)

Замечено [1], что подстановка (5) в уравнения равновесия элемен-

та срединной поверхности оболочки приводит к равенствам

Q

1

,k

=

=

Q

2

,k

= 0

. Таким образом, полученное решение позволяет опреде-

лить только моменты. Поэтому его принято называть чисто момент-

ным и приписывать верхний индекс

(M)

.

Далее предположим

Q

1

,k

=

Q

2

,k

= 0

. Тогда силовые уравнения

равновесия элемента срединной поверхности оболочки [1] примут вид

системы

dN

1

,k

+ (

N

1

,k

N

2

,k

) ctg

ϑ

+

k

sin

ϑ

S

k

= 0;

dS

k

+ 2

S

k

ctg

ϑ

k

sin

ϑ

N

2

,k

= 0;

N

1

,k

+

N

2

,k

= 0

,

решение которой, с учетом ограниченности сил в полюсе сферы

N

(

Б

)

1

,k

=

C

2

,k

tg

k

ϑ

/2

sin

2

ϑ

;

N

(

Б

)

2

,k

=

S

(

Б

)

k

=

N

(

Б

)

1

,k

,

(6)

где

C

2

,k

— произвольная постоянная интегрирования.

Перемещения точек срединной поверхности оболочки опреде-

лим из физических уравнений

ε

i,k

= (

N

i,k

μN

j,k

)/

Eh

,

ω

k

= 2(1 +

+

μ

)

S

k

/

Eh

(

i, j

= 1

,

2

,

i

6

=

j

) и геометрических уравнений для

компонент тангенциальной деформации с учетом (6)

ε

(

Б

)

1

,k

=

1

R

dU

1

,k

+

U

3

,k

=

1 +

μ

Eh

N

(

Б

)

1

,k

;

ε

(

Б

)

2

,k

=

1

R

U

1

,k

ctg

ϑ

+

k

sin

ϑ

U

2

,k

+

U

3

,k

=

1 +

μ

Eh

N

(

Б

)

1

,k

;

ω

(

Б

)

k

=

1

R

k

sin

ϑ

U

1

,k

dU

2

,k

+

U

2

,k

ctg

ϑ

= 2

1 +

μ

Eh

S

(

Б

)

k

.

(7)

Решением данной системы является сумма любого ее частного и

общего решений однородных дифференциальных уравнений, описы-

вающих деформирование оболочки без растяжения срединной поверх-

ности.

Частное решение системы (7) имеет вид

U

(

Б

)

1

,k

=

U

(

Б

)

2

,k

=

C

1

,k

(1 +

μ

)

R

2

Eh

η

k

sin

ϑ

tg

k

ϑ

/2;

U

(

Б

)

3

,k

=

C

1

,k

(1 +

μ

)

R

2

Eh

k

+ cos

ϑ

k

(

k

2

1)

tg

k

ϑ

/2

,

(8)

122 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2015. № 3