Доказательство этого соотношения дано в Приложении. Из соот-
ношения (15) инвариант
J
6
может быть выражен через остальные ин-
варианты
J
1
,
J
2
,
J
3
,
J
4
,
J
5
, но не однозначно, а с точностью до знака.
Таким образом, неприводимый функциональный базис скалярных
инвариантов относительно группы
С
∞
h
состоит из пяти инвариантов
J
1
,
J
2
,
J
3
,
J
4
,
J
5
плюс еще один “простой” инвариант
Y
. Последний
инвариант
Y
= 1
, если
J
6
0
, и
Y
=
−
1
, если
J
6
<
0
.
Заметим, что функциональный базис для группы
С
∞
h
имеет более
простую структуру, чем целый рациональный базис инвариантов.
Рассмотрим физический смысл того, что для двух возможных
трансверсально-изотропных функций симметричного тензора вто-
рого ранга скалярный базис инвариантов состоит из разного числа
величин.
Пусть в некоторой точке тела, имеющего симметрию структуры
D
∞
h
, напряженное состояние определяется тензором напряжений
σ
.
Вырежем в окрестности рассматриваемой точки кубический элемент.
Оси системы прямоугольных координат
0
X
1
X
2
X
3
направлены по ре-
брам элемента. Причем элемент материала вырезан так, что ось
0
X
3
совпадает с осью трансверсальной изотропии. Оси
0
X
1
и
0
X
2
на-
правлены таким образом, что компонента напряжений
σ
12
= 0
. Для
любого тензора
σ
такую систему координат всегда можно найти [13],
поэтому напряженное состояние рассматриваемого элемента, показан-
ное на рис. 2,
а
, относится к самому общему случаю.
Изменим направление компоненты напряжений
σ
23
на противопо-
ложное. Элемент материала при таком напряженном состоянии по-
казан на рис. 2,
б
. Значения инвариантов
I
1
, . . . , I
5
для напряженных
состояний, показанных на рис. 2,
а
и
б
, одинаковы. Повернув элемент,
изображенный на рис. 2,
б
, вокруг оси
0
X
2
на
180
◦
, его можно со-
вместить с элементом, показанным на рис. 2,
а
. При этом и структура
материала, и компоненты напряжений совпадут.
Рис. 2. Нагружение материала, имеющего группу симметрии структуры
D
∞
h
94 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2009. № 1
