Функциональные базисы скалярных инвариантов симме-
тричного тензора второго ранга относительно трансверсально-
изотропных групп ортогональных преобразований.
Рассмотрим
какие группы симметрии будут иметь скалярные функции
f
(
σ
)
для
разных типов трансверсально-изотропных материалов. Заметим, что
уравнение (2) выполняется при преобразовании инверсии, т.е. когда
Q
ij
=
⎛
⎜⎝
−
1 0 0
0
−
1 0
0 0
−
1
⎞
⎟⎠
.
(6)
Для того чтобы получить группу симметрии скалярной функции
G
ф
, ортогональное преобразование с тензором (6) должно быть до-
бавлено к ортогональным преобразованиям, входящим в группу
G
т
.
Таким образом находим, что материалы со следующими группами
симметрии структуры:
D
∞
h
,
D
∞
,
C
∞
v
имеют группу симметрии ска-
лярной функции от симметричного тензора второго ранга —
D
∞
h
. Для
материалов
C
∞
и
C
∞
h
группа симметрии —
C
∞
h
.
В соответствии с теоремой “изотропизации” [7, 9] анизотропные
тензорные функции группы симметрии
G
тензорных аргументов для
любой конечной точечной группы и любой предельной группы могут
быть выражены, как изотропные функции первоначальных тензорных
аргументов и набора структурных тензоров
ξ
(1)
, . . . , ξ
(
n
)
, который име-
ет группу симметрии
G
.
Таким образом, функциональный базис скалярных инвариантов
тензора
σ
относительно группы
G
, характеризуемой структурными
тензорами
ξ
(1)
, . . . , ξ
(
n
)
, содержится в функциональном базисе изо-
тропных инвариантов для тензоров
ξ
(1)
, . . . , ξ
(
n
)
, σ
.
Для группы симметрии
D
∞
h
набор структурных тензоров состоит
из одного тензора второго ранга [10]:
M
ij
=
⎛
⎜⎝
0 0 0
0 0 0
0 0 1
⎞
⎟⎠
.
(7)
При этом декартовый базис
e
i
такой, что направление вектора
e
3
совпадает с осью трансверсальной изотропии.
В работе [11] построены изотропные скалярные, векторные, тен-
зорные функции от векторов, симметричных и антисимметричных
тензоров второго ранга. Из работы [11] находим набор изотропных
инвариантов тензоров
σ
и
M
:
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2009. № 1 89
