В работе [2] сформулирован тензорно-полиномиальный критерий
прочности для анизотропных материалов:
F
ij
σ
ij
+
F
ijkl
σ
ij
σ
kl
+
F
ijklmn
σ
ij
σ
kl
σ
mn
+
. . .
= 1
.
(4)
Компоненты тензоров
F
ij
,
F
ijkl
,
F
ijklmn
, . . .
, характеризующие
прочностные свойства материала, могут быть найдены, например
из экспериментов. Тип анизотропии материала накладывает опреде-
ленные условия на вид тензоров
F
ij
,
F
ijkl
, . . .
Вид тензоров выше
четвертого ранга для многих классов симметрии не изучен. Это созда-
ет определенные трудности для применения на практике критериев
(4) со степенью более 2.
Таких трудностей не возникает, если использовать инвариантно-
полиномиальный критерий [3]
А
i
X
i
+
A
ij
X
i
X
j
+
A
ijk
X
i
X
j
X
k
+
. . . .
= 1
,
(5)
где
X
1
,
X
2
,
X
3
, . . .
— инварианты, входящие в полиномиальный ба-
зис (целый рациональный базис) относительно группы ортогональ-
ных преобразований, соответствующей симметрии структуры матери-
ала. Константы
А
i
,
A
ij
, . . . являются характеристиками прочностных
свойств материала. У критериев прочности в виде (5) есть и дру-
гие преимущества по сравнению с критериями вида (4). Например,
результаты экспериментов с анизотропными композиционными мате-
риалами [4] свидетельствуют о том, что прочность этих материалов
существенно зависит от гидростатического давления. В работе [3] по-
казано, что можно выбрать полиномиальный базис таким образом, что
один из инвариантов будет пропорционален гидростатической соста-
вляющей тензора напряжений, а другие инварианты не будут зависеть
от нее. Тогда соотношение для критерия прочности будет в явном ви-
де выражать зависимость прочности материала от гидростатического
давления.
Функция
f
(
σ
ij
)
, как и всякий инвариант, может быть выражена
в виде зависимости от инвариантов, входящих в скалярный функ-
циональный базис тензора
σ
относительно группы
G
ф
. Во многих
случаях функциональный базис бывает проще, чем полиномиальный.
Функциональный базис может содержать меньшее число членов.
На основе функционального базиса инвариантов для одного из ви-
дов трансверсально-изотропных материалов строится критерий проч-
ности [5]. Для различных классов трансверсальной изотропии выра-
жения для критериев, полученных на основе функциональных бази-
сов, приведены в работе [6]. Существуют различные мнения относи-
тельно функциональных базисов инвариантов симметричного тензора
второго ранга для некоторых групп трансверсальной изотропии [6–8],
поэтому рассмотрим этот вопрос подробнее.
88 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2009. № 1
