при которых определитель отличен от нуля. Например, определитель
Δ = 24
при
σ
ij
=
⎛
⎝
1 0
−
1
0 2 1
−
1 1 1
⎞
⎠
.
Ранг матрицы равняется пяти и числу инвариантов в системе (9),
поэтому инварианты этой системы функционально независимы. За-
метим, что неприводимый функциональный базис скалярных инвари-
антов относительно группы
D
∞
h
совпадает с целым рациональным
базисом.
Построим функциональный базис относительно группы симме-
трии
C
∞
h
. Структурным тензором для этой группы является косо-
симметричный тензор [10]
W
ij
=
⎛
⎝
0
−
1 0
1 0 0
0 0 0
⎞
⎠
.
(10)
В этом случае ось трансверсальной изотропии совпадает с напра-
влением вектора
e
3
декартового базиса. Из работы [11] находим набор
изотропных инвариантов двух тензоров (
σ
и
W
):
J
1
=
tr
σ
=
σ
11
+
σ
22
+
σ
33
;
J
2
=
tr
σ
2
=
σ
2
11
+
σ
2
22
+
σ
2
33
+ 2(
σ
2
12
+
σ
2
13
+
σ
2
23
);
J
3
=
tr
σ
3
=
σ
3
11
+
σ
3
22
+
σ
3
33
+ 3
σ
11
(
σ
2
12
+
σ
2
13
)+
+ 3
σ
22
(
σ
2
12
+
σ
2
23
) + 3
σ
33
(
σ
2
13
+
σ
2
23
) + +6
σ
12
σ
13
σ
23
;
J
4
=
tr
(
σ
W
2
) =
−
σ
11
−
σ
22
;
J
5
=
tr
(
σ
2
W
2
) =
−
σ
2
11
−
2
σ
2
12
−
σ
2
22
−
σ
2
23
−
σ
2
13
;
J
6
=
tr
(
σ
2
W
2
σ
W) =
−
σ
12
σ
2
13
−
σ
22
σ
13
σ
23
+
σ
11
σ
13
σ
23
+
σ
12
σ
2
23
;
J
7
=
tr
W
2
=
−
2
.
(11)
Получаем, что функциональный базис относительно группы
C
∞
h
состоит из инвариантов
J
1
, J
2
, J
3
, J
4
, J
5
, J
6
.
(12)
Набор инвариантов (12) совпадает с целым рациональным базисом
инвариантов.
Система инвариантов (9) связана с системой инвариантов (12) сле-
дующими соотношениями:
J
1
=
I
1
;
J
2
=
I
2
;
J
3
=
I
3
;
J
4
=
I
4
−
I
1
;
J
5
=
I
5
−
I
2
,
(13)
поэтому в качестве функционального базиса инвариантов относитель-
но группы
C
∞
h
можно использовать набор из инвариантов
I
1
, I
2
, I
3
, I
4
, I
5
, J
6
.
(14)
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2009. № 1 91
