Для трансверсально-изотропных материалов, имеющих симме-
трию структуры
C
∞
и
C
∞
h
, полученный вид критерия прочности
более простой, чем предлагается в работе [6] и, следовательно, для
экспериментального определения критерия для конкретного материа-
ла требуется меньшее число экспериментов.
Приложение
Доказательство соотношения (сизигии)
[2
J
3
+ 4(
J
1
+
J
4
)
3
−
6(
J
1
+
J
4
)(
J
5
+
J
2
)
−
3
J
4
J
5
−
J
3
4
]
2
+
+9[
J
5
+
J
2
−
(
J
1
+
J
4
)
2
]
2
[
J
2
4
+2
J
2
+4
J
5
−
2(
J
1
+
J
4
)
2
]+36
J
2
6
= 0
.
Убедимся в справедливости следующего положения:
если имеют место следующие алгебраические соотношения:
a
+
b
=
M,
(1)
ab
=
N,
(2)
c
+
d
=
P,
(3)
cd
=
Q,
(4)
ac
+
bd
=
R,
(5)
то
(2
R
−
MP
)
2
= (
P
2
−
4
Q
)(
M
2
−
4
N
)
.
(6)
Это можно установить непосредственной проверкой (подстанов-
кой).
Для вывода сизигии воспользуемся компонентным методом [8].
Будем выражать инварианты через компоненты симметричного тен-
зора второго ранга
σ
ij
в декартовом базисе
¯e
i
. Этот базис выбираем
следующим образом: направление
¯e
3
совпадает с осью трансверсаль-
ной изотропии, а направления
¯e
2
и
¯e
3
таковы, что компонента
σ
12
=
0. Очевидно, что для любого симметричного тензора второго ранга
такой базис можно найти. Поэтому, если установить связь между ин-
вариантами в этом базисе, то эта связь будет справедлива и для любого
другого базиса.
В рассматриваемом базисе выражения для инвариантов имеют вид:
J
1
=
σ
11
+
σ
22
+
σ
33
;
(7)
J
2
=
σ
2
11
+
σ
2
22
+
σ
2
33
+ 2(
σ
2
13
+
σ
2
23
);
(8)
J
3
=
σ
3
11
+
σ
3
22
+
σ
3
33
+ 3
σ
11
σ
2
13
+ 3
σ
22
σ
2
23
+ 3
σ
33
(
σ
2
13
+
σ
2
23
);
(9)
J
4
=
−
σ
11
−
σ
22
;
(10)
J
5
=
−
σ
2
11
−
σ
2
22
−
σ
2
23
−
σ
2
13
;
(11)
J
6
=
σ
13
σ
23
(
σ
11
−
σ
22
)
.
(12)
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2009. № 1 97
