I
1
=
tr
σ
=
σ
11
+
σ
22
+
σ
33
;
I
2
=
tr
σ
2
=
σ
2
11
+
σ
2
22
+
σ
2
33
+2(
σ
2
12
+
σ
2
13
+
σ
2
23
);
I
3
=
tr
σ
3
=
σ
3
11
+
σ
3
22
+
σ
3
33
+ 3
σ
11
(
σ
2
12
+
σ
2
13
) + 3
σ
22
(
σ
2
12
+
σ
2
23
)+
+ 3
σ
33
(
σ
2
13
+
σ
2
23
) + +6
σ
12
σ
13
σ
23
;
I
4
=
tr
M
σ
=
σ
33
;
I
5
=
tr
M
σ
2
=
σ
2
33
+
σ
2
13
+
σ
2
23
;
I
6
=
tr
M = 1;
I
7
=
tr
M
2
= 1;
I
8
=
tr
M
3
= 1;
I
9
=
tr
M
2
σ
;
I
10
=
tr
M
2
σ
2
,
(8)
где tr
B =
B
ii
.
Для этого набора инвариантов имеют место соотношения
I
9
=
I
4
и
I
10
=
I
5
и, кроме того,
I
6
,
I
7
и
I
8
являются константами. Таким
образом, функциональный базис относительно группы
D
∞
h
состоит
из набора пяти инвариантов
I
1
, I
2
, I
3
, I
4
, I
5
.
(9)
Для доказательства неприводимости этого набора инвариантов
можно воспользоваться теоремой, доказанной в работе [8], в соот-
ветствии с которой система инвариантов
I
1
, . . . , I
r
функционально
зависима в том и только в том случае, если для любого
σ
ij
ранг матри-
цы (
∂I
α
/∂σ
ij
)
меньше
r
. Матрица частных производных для системы
инвариантов (9) имеет вид
∂I
α
∂σ
ij
=
⎛
⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1
1
1
2
σ
11
2
σ
22
2
σ
33
3(
σ
2
11
+
σ
2
12
+
σ
2
13
) 3(
σ
2
22
+
σ
2
12
+
σ
2
23
) 3(
σ
2
33
+
σ
2
13
+
σ
2
23
)
0
0
1
0
0
2
σ
33
⇒
⇒
0
0
0
4
σ
23
4
σ
13
4
σ
12
6(
σ
22
σ
23
+
σ
33
σ
23
+
σ
12
σ
13
) 6(
σ
11
σ
13
+
σ
33
σ
13
+
σ
12
σ
23
) 6(
σ
11
σ
12
+
σ
22
σ
12
+
σ
13
σ
23
)
0
0
0
2
σ
23
2
σ
13
0
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎠
.
Вычеркивая из этой матрицы шестой столбец и находя опреде-
литель квадратной матрицы, убеждаемся, что существуют такие
σ
ij
,
90 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2009. № 1
