Построение матриц жесткости
[
K
ε
]
,
[
K
εκ
]
,
[
K
κ
]
,
[
K
σ
]
осуществляет
-
ся обычным для изопараметрических элементов образом
.
При формировании матрицы сдвиговой жесткости
[
K
γ
]
поступают
так
.
Деформации поперечного сдвига
γ
13
, γ
23
(
для плоского конечно
-
го элемента эти деформации далее обозначаются
γ
xz
,
γ
yz
)
включаются
в расчет с помощью аппроксимации
,
независимой от аппроксимации
деформаций изгиба
κ
1
,
κ
2
,
2
κ
12
.
Сначала через узловые перемещения
выражаются углы сдвига в плоскостях границ элемента в срединных
точках
A, B, C, D
(
см
.
рис
. 2):
γ
A
ξz
=
w
1
−
w
2
s
12
−
1
2
(
θ
x
1
+
θ
x
2
)
µ
y
1
−
y
2
s
12
¶
+
1
2
(
θ
y
1
+
θ
y
2
)
µ
x
1
−
x
2
s
12
¶
;
γ
C
ξz
=
w
4
−
w
3
s
43
−
1
2
(
θ
x
4
+
θ
x
3
)
µ
y
4
−
y
3
s
43
¶
+
1
2
(
θ
y
4
+
θ
y
3
)
µ
x
4
−
x
3
s
43
¶
;
γ
D
ηz
=
w
1
−
w
4
s
14
−
1
2
(
θ
x
1
+
θ
x
4
)
µ
y
1
−
y
4
s
14
¶
+
1
2
(
θ
y
1
+
θ
y
4
)
µ
x
1
−
x
4
s
14
¶
;
γ
B
ηz
=
w
2
−
w
3
s
23
−
1
2
(
θ
x
2
+
θ
x
3
)
µ
y
2
−
y
3
s
23
¶
+
1
2
(
θ
y
2
+
θ
y
3
)
µ
x
2
−
x
3
s
23
¶
,
(
17
)
где
s
ij
—
длины сторон элемента
.
Затем
,
основываясь на значениях сдвигов в указанных четырех точ
-
ках
,
проводится аппроксимация законов изменения сдвигов внутри эле
-
мента
:
γ
ξz
=
Ã
s
12
γ
A
ξz
s
ξ
!
1 +
η
2
+
Ã
s
43
γ
C
ξz
s
ξ
!
1
−
η
2
;
γ
ηz
=
Ã
s
14
γ
D
ηz
s
η
!
1 +
ξ
2
+
Ã
s
23
γ
B
ηz
s
η
!
1
−
ξ
2
,
(18)
где
s
ξ
,
s
η
—
длины соответственно
ξ
-,
η
-
линий
,
являющиеся перемен
-
ными в произвольном четырехугольнике
.
Аппроксимация
(18)
позволяет описать состояние чистого изгиба
элемента
,
что не удается получить непосредственно из полей переме
-
щений
(16).
Для реализации чистого изгиба достаточно
,
чтобы в ноль
обращались поперечные сдвиги
γ
A
ξz
,
γ
C
ξz
,
γ
D
ηz
,
γ
B
ηz
.
При этом деформации
изгиба
κ
1
=
∂θ
y
∂x
, κ
2
=
−
∂θ
x
∂y
,
2
κ
12
=
∂θ
y
∂y
−
∂θ
x
∂x
могут принимать произвольные значения
.
Полученная возможность
предсказывать нулевые или малые значения деформаций сдвига
,
не
22 ISSN 0236-3941.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Машиностроение
”. 2004.
№
3
