Применение процедуры МКЭ приводит к дискретным аналогам вы
-
ражений
(1), (2).
В случае линейно
-
упругой системы функция полной
потенциальной энергии имеет вид
Π (
{
∆
}
) =
1
2
{
∆
}
т
[
K
]
{
∆
} − {
∆
}
т
{
f
}
,
где
{
∆
}
—
вектор перемещений в узлах сетки конечных элементов
;
[
K
]
—
матрица жесткости
;
{
f
}
—
вектор узловых сил
.
Условие непроникания
(2)
в
i
-
м узле сетки конечных элементов за
-
писывается следующим образом
:
{
c
i
}
т
{
∆
} −
η
n i
6
0
,
(
4
)
где
{
c
i
}
—
известный числовой вектор
;
η
n i
—
значение зазора для этого
узла
.
Для решения контактных задач наиболее часто применяют метод
множителей Лагранжа и метод штрафов
,
позволяющие минимизиро
-
вать функцию потенциальной энергии при наличии ограничений
.
В на
-
стоящей работе использован метод множителей Лагранжа
.
Для каждого
ограничения
(4)
вводится множитель
λ
i
,
имеющий смысл контактной
силы в
i
-
м узле
,
и составляется модифицированная функция потенци
-
альной энергии
:
Π
mod
(
{
∆
}
,
{
λ
}
) = Π (
{
∆
}
) +
m
X
i
=1
λ
i
(
{
c
i
}
т
{
∆
} −
η
n i
) =
=
1
2
{
∆
}
т
[
K
]
{
∆
} − {
∆
}
т
{
f
}
+
{
λ
}
т
([
C
]
т
{
∆
} − {
η
}
)
,
(5)
где
{
λ
}
=
{
λ
1
. . . λ
m
}
—
вектор множителей Лагранжа
;
{
η
}
=
=
{
η
n
1
. . . η
nm
}
—
вектор дискретных зазоров
;
[
C
] = [
{
c
1
} · · · {
c
m
}
]
—
матрица
,
составленная из векторов
,
определяющих кинематические
условия
(4)
в узлах
;
m
—
общее число кинематических условий
.
Условия стационарности этой функции по переменным
{
∆
}
,
{
λ
}
приводят к системе уравнений
[
K
]
{
∆
}
+ [
C
]
{
λ
}
=
{
f
}
,
[
C
]
т
{
∆
}
=
{
η
}
,
(
6
)
решая которую получают перемещения
{
∆
}
и контактные силы
{
λ
}
.
Далее проверяется условие неположительности контактных сил
,
и по
результатам проверки пересматривается область контакта
.
Уравнения
(6)
приходится формулировать и решать многократно для различных
пробных зон контакта
.
16 ISSN 0236-3941.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Машиностроение
”. 2004.
№
3
