Конечно-элементный анализ контакта автомобильной шины с опорной поверхностью на основе оболочечной модели - page 10

ограничивая другие деформации, предотвращает эффект “сдвигового
заклинивания”.
Итак, формулами (17), (18) определены сдвиги в координатных
плоскостях η = const, ξ = const. Теперь необходимо перейти к углам
сдвига γxz , γyz . Для этого используем формулы преобразования дефор -
маций при повороте осей:
γξz = γxz cos α + γyz sin α; γηz = γ xz cos ψ + γyz sin ψ, (19)
где α , ψ — углы между осями x, ξ и x, η соответственно.
Обратные соотношения имеют вид
γxz = (γξz sin ψ − γηz sin α )/ sin(ψ − α);
γyz = (− γξz cos ψ + γηz cos α) / sin(ψ − α ).
(20)
Направляющие косинусы осей ξ и η выражаются через элементы ма-
трицы Якоби преобразования координат (15)
[J ] =  ∂x
∂ξ
∂y
∂ξ
∂x
∂η
∂y
∂η
 
следующим образом:
cos α = A−1
ξ
∂x
∂ξ
; sin α = A− 1
ξ
∂y
∂ξ
;
cos ψ = A− 1
η
∂x
∂η
; sin ψ = A− 1
η
∂y
∂η
,
где Aξ = s µ∂x
∂ξ ¶2
+ µ ∂y
∂ξ ¶2
, Aη = s µ∂x
∂η ¶2
+ µ∂y
∂η ¶2
— масштабы
длины ξ - и η -линий.
Учитывая значения направляющих косинусов, представим форму-
лы прямого и обратного преобразования деформаций (19), (20) в виде
{Aξ γξz Aη γηz } = [J ]{γ xz γyz };
{γxz γyz } = [J ]− 1{Aξ γξz Aη γηz }.
(21)
Чтобы получить окончательную аппроксимацию поперечных сдви -
гов γxz, γyz , заменим в соотношении (21) сначала деформации γξz , γηz
выражениями (18), а затем деформации в срединных точках A, B, C ,
D их значениями по формулам (17). Учтем также , что при билинейной
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н .Э. Баумана . Сер. “Машиностроение”. 2004. № 3 23