Приведем математическую модель рассматриваемой задачи в сле
-
дующем виде
:
∂
T
(
x
,
τ
)
∂ τ
=
a
∂
2
T
(
x
,
τ
)
∂
x
2
+
q
v
c
ρ
;
(1)
λ ∂
T
(
0
,
τ
)
∂
x
=
α
1
£
T
(
0
,
τ
)
−
T
c1
¤
;
(2)
−
λ ∂
T
(
h
,
τ
)
∂
x
=
α
2
£
T
(
h
,
τ
)
−
T
c2
¤
;
(3)
T
(
x
,
0
) =
T
0
,
(4)
где
T
(
x
,
τ
)
—
температура пластины
;
a
—
температуроп
p
оводность
;
q
v
—
плотность теплового потока
;
c
,
ρ
,
λ
и
α
—
теплоемкость
,
плот
-
ность материала пластины
,
теплопроводность и коэффициент тепло
-
отдачи
;
T
c1
,
T
c2
—
температура сред
,
разделяемых пластиной
;
T
0
—
температура пластины в начальный момент времени
.
Для решения задачи
(1)–(4)
удобно использовать ее безразмерную
форму записи
:
∂ θ
(
ξ
,
Fo
)
∂
Fo
=
∂
2
θ
(
ξ
,
Fo
)
∂ ξ
2
+
Po;
(5)
θ
0
¡
ξ
1
,
Fo
¢
−
Bi
1
θ
¡
ξ
1
,
Fo
¢
=
−
Bi
1
θ
c1
;
(6)
θ
0
¡
ξ
2
,
Fo
¢
+
Bi
2
θ
¡
ξ
2
,
Fo
¢
=
Bi
2
θ
c2
;
(7)
θ
(
ξ
,
0
) =
f
(
ξ
)
,
(8)
где
ξ
=
x
h
—
безразмерная координата
;
h
—
толщина пластины
;
Fo
= (
a
τ
)
/
h
2
—
число Фурье
; Po
=
¡
q
v
h
2
¢±
(
λ
T
m
)
—
критерий По
-
меранцева
; Bi
= (
α
h
)
±
λ
—
критерий Био
;
f
(
ξ
) =
T
0
±
T
m
—
функция
распределения температуры в начальный момент времени
;
T
m
—
тем
-
пература
,
выбранная для приведения системы
(1)–(4)
к безразмерному
виду
(
постоянная величина
,
имеющая размерность температуры
).
Решение близкой по постановке нестационарной задачи теплопро
-
водности без внутренних источников теплоты содержится в работах
[1–5].
Более общая формулировка аналогичных задач и их обобщенное
решение для тел в виде пластин
,
цилиндров
,
сфер и стержней различ
-
ной формы приведено в работе
[6],
в которой для получения результата
использован метод конечных интегральных преобразований
.
Улучшенная сходимость рядов
,
образующих решение задачи
(5)–(8),
достигается в результате представления искомой функции
θ
(
ξ
,
Fo
)
в виде суммы двух составляющих
:
θ
(
ξ
,
Fo
) =
θ
∗
(
ξ
,
Fo
) +
ϑ
(
ξ
,
Fo
)
,
(
9
)
4 ISSN 0236-3941.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Машиностроение
". 2003.
№
4
