Согласно работам [14, 15] при каждом фиксированном значении пара-
метра
s
H
(1)
0
(
p
n
ρ
)
2
L
2
[
R
n
−
1
,
+
∞
);
H
(2)
0
(
p
n
ρ
)
6
2
L
2
[
R
n
−
1
,
+
∞
)
,
поэтому функция
m
(
s
)
должна удовлетворять уравнению
(
v
1
n
+
iv
2
n
) +
m
(
s
)(
C
1
n
+
iC
2
n
) = 0
.
Отсюда находим функцию Вейля–Титчмарша
m
(
s
) =
−
v
1
n
+
iv
2
n
C
1
n
+
iC
2
n
,
(24)
где коэффициенты
{
C
jn
}
2
j
=1
и
{
v
jn
}
2
j
=1
зависят от параметра
s
инте-
грального преобразования (8), (9) и определяются равенствами (19),
(20) и (23) соответственно. Нетрудно также убедиться в том, что функ-
ция
m
(
s
)
не имеет особых точек.
Дифференциал спектральной функции
σ
(
s
)
согласно общей теории
интегральных преобразований [14, 15] определяется как
dσ
(
s
) =
Im
m
(
s
)
πR
0
[
h
2
(
Fo
) +
R
2
0
]
ds.
При любом фиксированном значении параметра
s
>
0
согласно ра-
венствам (19), (20), (23) и свойствам цилиндрических функций [2, 14]
коэффициенты
{
C
jn
}
2
j
=1
и
{
v
jn
}
2
j
=1
вещественны. Поэтому имеем
(
s
>
0)
)
Im
m
(
s
) =
−
C
1
n
v
2
n
−
C
2
n
v
1
n
C
2
1
n
+
C
2
2
n
.
(25)
Можно также показать, что при любом
s <
0
функции
C
1
n
+
iC
2
n
и
v
1
n
+
iv
2
n
в правой части равенства (24) остаются вещественными.
Поэтому получаем
(
s <
0)
)
Im
m
(
s
) = 0
.
Таким образом, дифференциал спектральной функции
σ
(
s
)
имеет вид
dσ
(
s
) =
Im
m
(
s
)
πR
0
[
h
2
(
Fo
) +
R
2
0
]
ds, s
>
0;
0
,
s <
0
,
(26)
где мнимая часть функции
m
(
s
)
определяется равенством (25), а функ-
ция
h
(
Fo
)
— равенством (12).
4. Сингулярное интегральное преобразование.
Для удобства
практического использования введем новые параметры
{
p
k
}
n
k
=1
полу-
ченного интегрального преобразования, воспользовавшись равенства-
ми (19). В этом случае согласно равенствам (8)–(10), (13), (15), (25),
44 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2006. № 3
