ное преобразование, применяемое по пространственной переменной
ρ
:
F
(
s
) =
V
[
f
(
ρ
)]
≡
∞
Z
R
0
f
(
ρ
)
K
(
ρ, s
)
q
(
ρ
)
dρ
;
(8)
f
(
ρ
) =
V
−
1
[
F
(
s
)]
≡
∞
Z
−∞
F
(
s
)
K
(
ρ, s
)
dσ
(
s
)
,
(9)
где
F
(
s
)
— изображение оригинала
f
(
ρ
)
2
L
2
[
R
0
,
+
∞
)
, при этом ра-
венство (8) понимается в смысле стандартной нормы пространства
L
2
[
R
0
,
+
∞
)
[14, 15];
K
(
ρ, s
)
— ядро интегрального преобразования с
параметром
s
, принимающим значения в поле вещественных чисел
R
, а
K
(
ρ, s
)
— комплексно-сопряженная по отношению к нему функ-
ция;
q
(
ρ
)
и
σ
(
s
)
— соответственно весовая и спектральная функции
сингулярного интегрального преобразования (8), (9).
1. Ядро интегрального преобразования.
Из равенств (1)–(7) сле-
дует, что ядро интегрального преобразования
K
(
ρ, s
) =
K
k
(
ρ, s
)
, R
k
−
1
< ρ < R
k
, k
2 {
1
, n
−
1
}
,
K
n
(
ρ, s
)
, R
n
−
1
< ρ <
+
∞
(10)
задается линейным дифференциальным оператором второго порядка
L
[
∙
]
≡
a
2
1
ρ
∂
∂ρ
ρ
∂
∂ρ
, ρ > R
0
;
(11)
условиями сопряжения; соответствующими условиям (5) и (6) при
ρ
=
R
k
,
k
2 {
1
, n
−
1
}
; граничным условием (4) при
ρ
=
R
0
и
условием (7) его принадлежности классу интегрируемых с квадра-
том функций
L
2
(
R
0
,
+
∞
)
. При этом граничное условие при
ρ
=
R
0
,
согласно равенствам (4), (10) и общей теории интегральных преобра-
зований [14, 15], может быть представлено как
K
1
(
ρ, s
)
ρ
=
R
0
=
R
0
;
∂K
1
(
ρ, s
)
∂ρ
ρ
=
R
0
= Λ
−
1
1
Bi
(
Fo
)
≡
h
(
Fo
)
.
(12)
Следует подчеркнуть, что, как следует из равенств (10), (12), ядро
сингулярного интегрального преобразования (8), (9) зависит не только
от пространственной переменной
ρ
и параметра
s
2
R
, но и от числа
Фурье Fo, т.е. от времени.
Весовая функция
q
(
ρ
)
, приводящая линейный дифференциальный
оператор (11) к самосопряженному виду, определяется стандартным
40 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2006. № 3
