универсально и проще в использовании при получении как функций
формы, так и МЖЭ. Это обусловлено полиномиальной формой всех
компонентов решения дифференциального уравнения и сравнитель-
но низким порядком уравнения. Для кольцевых элементов ситуация
обратная, так как полиномиально-тригонометрическая форма компо-
нентов решения дифференциального уравнения шестого порядка при-
водит к необходимости многократного решения систем линейных ал-
гебраических уравнений такого же порядка. Аналогичная ситуация
возникает и при использовании функции Грина. Поэтому откажемся от
использования в расчетах функций форм перемещений полного урав-
нения, описывающего состояние кольцевого элемента, и рассмотрим
только дифференциальное уравнение, следующее из геометрических
и физических соотношений:
d
3
V
dϕ
3
+
dV
dϕ
=
−
R
2
EI
z
M
z
(
ϕ
)
.
Для этого уравнения функция Грина, позволяющая конкретизиро-
вать вид интеграла Дюамеля, имеет вид
Г
(
ϕ, ξ
) = 1
−
cos(
ϕ
−
ξ
)
,
а общее решение уравнения (5) представляется в форме
V
(
ϕ
) =
c
1
+
c
2
sin
ϕ
+
c
3
cos
ϕ
−
R
2
EI
z
ϕ
Z
0
M
z
(
ξ
)
Г
(
ϕ, ξ
)
dξ.
(6)
Оно может быть использовано для расчета любой из трех функций
форм перемещений конечного кольцевого элемента при соответству-
ющих начальных условиях:
V
(
π/
2) = 0;
V
0
(
π/
2) = 0;
V
00
(
π/
2) +
V
(
π/
2) = 0
.
Например, для первой из функций формы, необходимой в расчетах
рам обоих типов на жесткость, получаем
c
1
=
R
;
c
2
= 0
;
c
3
=
−
R
, а
функцию формы получаем в виде
V
(
ϕ
) =
R
(1
−
cos
ϕ
)
−
R
2
EI
z
ϕ
Z
0
M
z
(
ξ
)
Г
(
ϕ, ξ
)
dξ.
Аналитический вид функции (6) достаточно громоздок, но для ее
иллюстрации можно использовать любой аналитико-графический по-
строитель, например Mathcad-12. Отметим также, что предлагаемый
подход не только позволяет получать функции формы перемещений
кольцевого КЭ в аналитическом виде, но и оказывается вне конкурен-
ции по сравнению с методикой, использующей стандартное диффе-
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2008. № 3 21
