УДК УДК 539.3
Ю. И. Ф о м и ч е в, Е. А. К о р о в а й ц е в а
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИЙ
ФОРМЫ И МАТРИЦЫ ЖЕСТКОСТИ
КОЛЬЦЕВОГО КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА
В МЕТОДЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Рассмотрен без ограничения общности элемент кругового кольца в
виде четверти окружности. Для аналитического построения функ-
ций формы параметров напряженно-деформированного состояния,
исключающих проблемы отсутствия учета смещения как жестко-
го целого, совместно используются методы сил и перемещений,
позволяющие при построении матрицы жесткости элемента ис-
ключить дифференциальные уравнения, а при построении функций
форм перемещений ограничиться простейшим уравнением упругой
линии, допускающим несложный вывод функции Грина. Граничные
элементы могут быть рассмотрены по аналогичным соотноше-
ниям.
Постановка задачи.
Функции формы конечного элемента (КЭ) и
соответствующие им матрицы жесткости, могут быть построены как
точно [1, 2], так и приближенно в рамках интерполяционного подхо-
да [3]. В последнем случае возникает риск отсутствия учета смеще-
ния элемента как жесткого целого. Необходимость интерполяционно-
го подхода, несмотря на возможные риски, вызвана тем, что область
применимости точного построения функций формы ограничена воз-
можностью построения аналитических форм общего решения систем
дифференциальных уравнений. При использовании численных мето-
дов расчета последнее ограничение снимается и единственной обла-
стью рационального применения интерполяционного варианта метода
конечных элементов (МКЭ) являются многомерные задачи: прямые
методы решения задач динамики без использования аппроксимации,
например метода Фурье, и многомерные задачи статики [4]. Но это
вынуждает все расчеты проводить менее эффективно, чем при ис-
пользовании функций формы [2], и только в дискретной форме.
Хотя с точки зрения трудоемкости расчетов определенным ком-
промиссом является привлечение аппарата решетчатых функций [5],
что позволяет оставить форму расчета дискретной, но преимущества
аналитических методов расчета будут использованы не в полной мере.
Для кольцевых КЭ при аналитическом построении функций формы
(в отличие от данных работы [2]) не используем известное дифферен-
циальное уравнение шестого порядка, а привлекаем подход сопроти-
вления материалов. Последнее в методическом плане особенно важно
для строительной механики, так как метод перемещений, являющийся
14 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2008. № 3
