Решения задачи (30) можно записать как
ϕ
n
=
J
0
y
n
r
r
0
sh
y
n
ˉ
x,
ˉΩ
n
=
−
ˉ
γy
n
cth
y
n
ˉ
H, n
= 1
,
2
,
3
, . . . ,
(31)
где
y
n
— корни трансцедентного уравнения
J
1
(
y
n
)
J
0
(
y
n
)
=
y
n
b
y
2
n
+
β
2
ˉΩ
2
k
th
2
(
y
n
ˉ
H
)
.
(32)
Кроме решения (31), задача (30) имеет и другие решения. Предпо-
ложив
y
=
iz
, получаем
ϕ
l
=
I
0
z
l
r
r
0
) sin
z
l
x,
ˉΩ
l
=
i
ˉΩ
k
±
s
1 +
b
z
l
I
0
(
z
l
)
I
1
(
z
l
)
, l
= 1
,
2
,
3
, . . . ,
(33)
где
z
l
— корень трансцедентного уравнения
ctg
z
l
ˉ
H
=
−
ˉ
β
ˉΩ
k
i
z
l
s
b
z
l
I
0
(
z
l
)
I
1
(
z
l
)
+ 1
.
(34)
Для определения корней воспользуемся графическим методом. Пе-
репишем уравнение (32) в виде
F
(
y
) =
J
1
(
y
n
)
J
0
(
y
n
)
−
y
n
b
y
2
n
+
β
2
ˉΩ
2
k
th
2
(
y
n
ˉ
H
)
= 0
,
(35)
предположим
y
=
Re
y
+
i
Im
y
и
F
(
y
) =
Re
F
+
i
Im
F
.
Для графического исследования решений уравнений (32), (34) за-
дадим
ˉ
β
= 0
,
001; 0
,
1; 0
,
5
, а также
ρ
= 1000
кг/м
3
;
ρ
об
= 8
∙
10
3
кг/м
3
;
Е
= 2
∙
10
11
;
r
0
= 1
м;
h
0
= 0
,
002
м.
Построив графики Re
F
(
y
) = 0
, и Im
F
(
y
) = 0
, в точках их пере-
сечения найдем искомые корни уравнения (32), аналогичным образом
определим корни уравнения (34) (рис. 1,
а
,
б
).
Определив значения
ˉΩ
0
,
y
0
,
z
0
для вспомогательной задачи, под-
ставим их в систему трансцедентных уравнений (28) и (29) и найдем
значения
Ω
n
,
y
n
,
z
n
для основной модельной задачи (24)–(27).
В таблице для значений
ˉ
β
= 0
,
001; 0
,
1; 0
,
5
приведены значения
собственных и волновых чисел первых пяти тонов колебаний, отвеча-
ющих спектрам
Λ
(1)
,
Λ
(2)
и
Λ
(3)
.
Обсуждение результатов.
На рис. 2 показано расположение значе-
ний
ˉΩ
n
на комплексной плоскости
ˉΩ
. Из рис. 2 и таблицы следует, что
рассматриваемая задача имеет три спектра собственных чисел
Λ
(1)
,
Λ
(2)
и
Λ
(3)
. Спектру
Λ
(1)
отвечает множество действительных чисел
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2008. № 1 53
