S
n
— некоторая обобщенная координата;
ϕ
n
— потенциал смещений,
комплексно-сопряженный с потенциалом
ϕ
n
.
Приведенный анализ решения задачи указывает на существова-
ние двух спектров комплексных чисел, описывающих низкочастотные
колебания свободной поверхности жидкости и высокочастотные коле-
бания упругой оболочки с жидкостью.
Представленный метод решения задачи не выявляет механической
связи обобщенных координат, отвечающих спектрам
Λ
(1)
,
Λ
(2)
и
Λ
(3)
.
Поэтому колебания, происходящие с частотами
ˉΩ
(1)
n
,
ˉΩ
(2)
n
,
ˉΩ
(3)
n
мож-
но рассматривать как главные колебания с обобщенной координатой
S
n
(
t
)
, отвечающей одному из спектров. Составим выражения для
м
пр
,
С
пр
и
b
пр
, отвечающих свободным колебаниям системы с частотам
ˉΩ
(3)
n
.
Тогда потенциал скоростей при колебаниях по
n
-му тону может быть
записан в виде
ϕ
(3)
n
=
I
0
z
n
r
r
0
sin
z
n
x,
а параметры
м
пр
,
С
пр
и
b
пр
— формулами
м
пр
= 2
πρ
r
0
Z
0
0
Z
−
H
z
n
z
n
r
2
0
(
I
1
(
z
n
r
r
0
)
I
1
(
z
n
r
r
0
) sin(
z
n
x
r
0
) sin(
z
n
x
r
0
)+
+
I
0
(
z
n
r
r
0
)
I
0
(
z
n
r
r
0
) cos(
z
n
x
r
0
) cos(
z
n
x
r
0
))
dxdr
;
b
пр
= 2
πγρ
r
0
Z
0
z
n
z
n
r
2
0
I
0
(
z
n
r
r
0
)
I
0
(
z
n
r
r
0
) cos(
z
n
H
r
0
) cos(
z
n
H
r
0
)
rdr
;
(36)
С
пр
= 2
π
hE
r
0
0
Z
−
H
z
n
z
n
r
2
0
I
1
(
z
n
)
I
1
(
z
n
) sin(
z
n
x
r
0
) sin(
z
n
x
r
0
)
dx,
где
z
— число, комплексно-сопряженное с
z
.
Подставим выражения для кинетической, потенциальной энергии
и диссипативной функции в уравнения Лагранжа второго рода:
d
dt
∂T
∂
˙
S
n
−
∂T
∂S
n
=
−
∂
П
∂S
n
+
Q
φ
,
где
Q
φ
=
−
∂
Φ
∂
˙
q
— обобщенная сила.
В результате получаем уравнения движения
n
-го осциллятора, от-
ражающего свободные колебания рассматриваемой сложной механи-
ческой системы,
¨
S
n
+ 2
n
˙
S
n
+
ω
2
n
S
n
= 0
, n
= 1
,
2
,
3
, . . . ,
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2008. № 1 57
