где
L
11
, L
12
, L
21
, L
22
— дифференциальные операторы общей техниче-
ской теории тонких оболочек;
p
– гидродинамическое давление жидко-
сти;
m
=
ρ
0
h
0
— масса единицы поверхности оболочки;
ρ
0
— плотность
материала оболочки;
h
0
— толщина оболочки.
Для получения определенного решения малых движений оболоч-
ки необходимо дополнить уравнения (10) начальными и граничными
условиями, отвечающими условиям закрепления оболочки.
Отметим, что имеющиеся в литературе [6–8] сведения по коле-
баниям упругих металлических оболочек с жидкостью показывают
справедливость следующих выводов:
1) несмоченная часть оболочки практически не участвует в колеба-
ниях, поэтому ее можно не рассматривать, т.е. считать, что оболочка
заполнена жидкостью до верхнего края;
2) условия закрепления торцов существенно не влияют на часто-
ты и формы колебаний (кроме
ε
-окрестности вблизи торцов) и могут
быть выбраны такими, которые позволят получить наиболее простые
решения;
3) влияние тангенциальных сил инерции оболочки
ρ
0
h
0
∂
2
u
0
∂ t
2
при
наличии жидкости внутри нее уменьшается, поэтому тангенциальны-
ми силами инерции можно пренебречь.
Постановка задачи для потенциала смещений.
При исследова-
нии малых движений идеальной жидкости удобно ввести понятие по-
тенциала смещений:
φ
(
x, t
)
,
(
x
= (
x
1
, x
2
, x
3
))
, связанного с полем сме-
щений
~w
(
x, t
)
и полем скоростей
~v
(
x, t
)
частиц жидкости формулами
~w
(
x, t
) =
r
φ
(
x, t
);
~v
(
x, t
) =
r
∂φ
∂ t
.
(11)
Подставив формулы (11) в уравнение Эйлера (9), после интегри-
рования получим линеаризованный интеграл Коши–Лагранжа, выра-
женный через потенциал смещений:
∂
2
φ
∂ t
2
+
p
ρ
=
c
(
t
)
,
(12)
где
c
(
t
)
— произвольная функция времени, которая в рассматриваемых
задачах может быть равна нулю. Предположив, что движения жидко-
сти — потенциальные, сформулируем краевую задачу для определения
функции
φ
(
x, t
)
. Используя уравнения (10), уравнение неразрывности
и граничные условия (6), (7), получаем
Δ
φ
= 0
в
Q
;
(13)
∂
2
φ
∂t
2
+
g
∂φ
∂n
=
f
1
(
x, t
)
на
Г
0
;
(14)
−
∂
2
φ
∂t
2
+
γ
∂
2
φ
∂n∂t
=
f
2
(
x, t
)
на
Σ
,
(15)
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2008. № 1 49
