а
ˉΩ
n
, y
n
являются решением трансцендентных уравнений;
Ω
2
n
=
Ω
2
k
y
n
J
1
(
y
n
)
ρ r
0
ρ
o
h
J
0
(
y
n
)
−
y
n
J
1
(
y
n
)
,
Ω
3
n
th
y
n
H
+ Ω
2
n
γy
n
+ Ω
n
y
n
+
γy
2
n
th
y
n
H
= 0
,
(28)
где
ˉΩ
2
=
Ω
2
r
0
g
;
y
=
kr
0
;
J
0
(
y
)
,
J
1
(
y
)
— функции Бесселя первого рода
нулевого и первого порядков соответственно;
H
=
H
r
0
;
γ
=
γ
1
√
gr
0
;
x
=
x
r
0
;
b
=
ρr
0
ρ
0
h
0
.
Рассматриваемая задача, кроме решений
y,
Ω
, имеет и другие ре-
шения. Пусть
y
=
iz
, тогда потенциал
ϕ
l
запишется в виде
ϕ
l
=
I
0
z
l
r
r
0
−
z
l
Ω
2
l
cos
z
l
x
+ sin
z
l
x ,
а
ˉΩ
l
, z
l
являются решением трансцендентных уравнений
Ω
2
l
=
−
Ω
2
k
1 +
ρ r
0
ρ
0
h
1
z
l
I
0
(
z
l
)
I
1
(
z
l
)
;
(29)
Ω
3
l
tg
z
l
H
+ Ω
2
l
γz
l
+ Ω
l
z
l
−
γz
2
l
tg
z
l
H
= 0
.
Здесь
I
0
(
z
)
, I
1
(
z
)
— модифицированные функции Бесселя первого рода
нулевого и первого порядков соответственно.
Система трансцендентных уравнений (28) или (29) своими реше-
ниями может иметь как действительные, так и комплексные значения
(
y,
Ω
или
z,
Ω
). Чтобы получить начальные приблизительные значе-
ния корней систем трансцендентных уравнений, рассмотрим вспомо-
гательную задачу.
Вспомогательная задача.
Из имеющихся в литературе данных по
колебаниям упругой конструкции с жидкостью следует, что волны на
свободной поверхности жидкости, обусловленные действием внешне-
го поля массовых сил, практически не влияют на спектр и формы
колебаний упругой металлической конструкции с жидкостью. Сфор-
мулируем вспомогательную спектральную задачу в следующем виде:
∂
2
ϕ
∂r
2
+
1
2
∂ϕ
∂r
+
∂
2
ϕ
∂n
2
= 0
в
Q
;
ϕ
= 0
на
Г
0
;
(30)
Ω
ϕ
−
γ
∂ϕ
∂x
= 0
на
Σ
,
(Ω
2
+ Ω
2
k
)
∂ϕ
∂r
=
−
ρ
ρ
0
h
Ω
2
ϕ
на
S.
52 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2008. № 1
