Собственные колебания
. Предположив, что
f
1
(
x, t
) =
f
2
(
x, t
) = 0
,
решение задачи можно записать как
u
0
(
x, t
) =
u
0
(
x
)
e
Ω
t
;
w
0
(
x, t
) =
w
0
(
x
)
e
Ω
t
;
p
(
x, t
) =
p
(
x
)
e
Ω
t
;
ϕ
(
x, t
) =
ϕ
(
x
)
e
Ω
t
.
(19)
В результате некоторых преобразований получим задачу о соб-
ственных колебаниях следующего вида:
Δ
ϕ
= 0
в
Q
;
(20)
Ω
2
ϕ
+
g
∂ϕ
∂n
= 0
на
Г
0
;
(21)
Ω
2
ϕ
−
γ
Ω
∂ϕ
∂n
= 0
на
Σ;
(22)
L
(
u
0
∂ϕ
∂n
)
+
ρ
0
h
0
Ω
2
(
0
∂ϕ
∂n
)
=
0
−
Ω
2
ρϕ
на
S
;
(23)
здесь нетривиальными решениями являются функции
ϕ
n
(
x,
Ω
n
)
,
n
= 1
,
2
,
3
. . .
, именуемые собственными функциями, и действитель-
ные или комплексные числа
Ω
n
,
n
= 1
,
2
,
3
. . .
, называемые собствен-
ными значениями.
Модельная задача для цилиндрической оболочки.
Рассмотрим
безмоментную цилиндрическую круговую оболочку радиуса
r
=
r
0
и высотой
Н
, имеющую жесткое перфорированное дно и частично
заполненную жидкостью. Исключив из уравнения (23) функцию
u
0
(
x
)
,
получим спектральную задачу об определении частоты
Ω
и функции
ϕ
(
r, x
)
, записанную в цилиндрической системе координат
x, r, η
:
Δ
ϕ
= 0
в
Q
;
(24)
g
∂ϕ
∂x
+ Ω
2
ϕ
= 0
, x
= 0;
(25)
Ω
2
ϕ
−
γ
Ω
∂ϕ
∂x
= 0
, x
=
−
H
;
(26)
Ω
2
∂ϕ
∂r
+ Ω
2
k
∂ϕ
∂r
=
−
ρ
ρ
0
h
0
Ω
2
ϕ
на
S,
(27)
где
Ω
2
k
=
E
ρ
0
r
2
0
— квадрат частоты собственных радиальных колебаний
упругого кольца;
E
— модуль упругости материала цилиндрической
обечайки.
Используя метод разделения переменных, получаем решение зада-
чи (24)–(27) в виде
ϕ
n
=
J
0
y
n
r
r
0
−
y
n
Ω
2
n
ch
y
n
x
+ sh
y
n
x
)
, n
= 1
,
2
,
3
, . . . ,
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2008. № 1 51
