среди них тот, который был бы оптимален с точки зрения некоторо-
го формального критерия, характеризующего определенное физико-
техническое качество данного управления. Далее рассмотрим задачу
оптимизации в постановке в) (с приоритетным выбором весовых ко-
эффициентов
r
i
,
1
i n
[10]) и обсудим алгоритмическую технику
построения режима
оптимального
управления
v
∗
∈
R
m
. Но п режде
рассмотрим данную задачу в варианте оптимизации
отдельной
пере-
менной ХТП-вектора
w
(
ω
+
v
)
∈
R
n
.
Утверждение 4.
Пусть
D
i
= (
B
i
+
B
т
i
)
∈
M
m,m
(
R
)
,
(
i
= 1
, . . . , n
)
,
где
B
i
— матрица идентифицированной билинейно-тензорной регрес-
сионной системы
(5)
. Тогда при варьировании координат вектора
управляющих воздействий
v
∈
R
m
показатель функционального каче-
ства ХТП вида
J
i
(
v
) =
w
i
(
ω
+
v
) (
i
= 1
, . . . , n
)
может иметь внутренний экстремум
(
при
ε
(
ω, v
) = 0)
только в точке
(
режиме
)
v
∗
=
−
D
−
1
i
A
т
e
i
∈
R
m
,
(9)
где
{
e
1
, . . . , e
n
}
— стандартный базис в
R
n
, при этом справедливы
положения
:
•
если
v
т
D
i
v
— отрицательно определенная квадратичная форма,
то функционал качества
J
i
(
v
)
имеет в режиме
v
∗
максимум
;
•
если
v
т
D
i
v
— положительно определенная квадратичная форма,
то функционал качества
J
i
(
v
)
имеет в режиме
v
∗
минимум
;
•
если
v
т
D
i
v
— квадратичная форма, принимающая как положи-
тельные, так и отрицательные значения, то функционал качества
J
i
(
v
)
не имеет в режиме
v
∗
ни максимум, ни минимума.
Замечание 3.
В двух первых случаях знакоопределенности квадра-
тичной формы
v
т
D
i
v
экстремальная точка (9) — точка эллиптического
типа, в третьем случае данная точка имеет гиперболический тип (сед-
ловая точка).
Доказательство
утверждения 4. Поскольку
J
i
(
v
) =
c
i
+
e
т
i
Av
+
v
т
B
i
v,
то необходимые условия локального экстремума имеют [11, c. 334]
вид
∂
(
c
i
+
e
т
i
Av
+
v
т
B
i
v
)
/∂v
1
= 0
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
∂
(
с
i
+
e
т
i
Av
+
v
т
B
i
v
)
/∂v
n
= 0
,
что эквивалентно системе алгебраических уравнений
e
т
i
Ae
1
+
e
т
1
B
i
v
+
e
т
1
B
т
i
v
= 0
,
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2012. № 1 25
