режима ХТП
ω
∈
R
m
);
q
— общее число проведенных эксперимен-
тов ХТП (при этом ограничений на
q
не накладываем), это число
должно быть достаточным, чтобы посредством решения задачи пара-
метрической идентификации тензорная структура уравнения (1) была
определена однозначно (см. также далее замечание 2);
в) для
ε
(
ω, v
)
≡
0
и фиксированных
ω
∈
R
m
, k
определить вектор
входных переменных ХТП
v
∗ ∈
R
m
из решения задачи
v
-оптимизации
(построение взвешенно-усредненных оптимальных характеристик вы-
ходных переменных ХТП):
max
{
F
(
v
) :
v
∈
R
m
}
, F
(
v
) =
i
=1
,...,n
r
i
w
i
(
ω
+
v
)
,
(3)
где
r
i
— заданные весовые коэффициенты взвешенно-усредненной
оценки ХТП, а переменные вектор-функции col(
w
1
(
ω
+
v
)
, . . . , w
n
(
ω
+
+
v
)) =
w
(
ω
+
v
)
∈
R
n
имеют аналитические представления в силу
идентифицированной модели (1), т.е. согласно пункту б).
Существование модели многомерной регрессии ХТП со стаци-
онарными параметрами в тензорных классах
T
j
m
,
j k
.
В этом
разделе исследуем аналитические свойства нелинейных векторных ре-
грессий многих переменных, которые внешне похожи на поведение
голоморфных функций (задача а)). В связи с этим изложение будет
основываться на понятии производной Фреше [5, c. 481]. Последнее
ставит задачу определения остальных понятий, в частности диффе-
ренциалов высших порядков, через конструкции данных производных;
известно [5, c. 490], что
k
-производные Фреше можно (и удобно) трак-
товать как математические конструкции с полилинейной (
k
-линейной)
структурой, что отражает следующее:
Утверждение 1.
Пусть
Ω
— открытая область в
R
m
,
w
(
·
)
—
отображение множества
Ω
в
R
n
и
ω
— некоторая точка из
Ω
. Если
существует производная Фреше
w
(
k
)
(
ω
)
порядка
k
, то дифференциал
Фреше
k
-го порядка
d
k
w
для отображения
w
(
·
)
в точке
ω
∈
Ω
при
приращении
v
∈
R
m
имеет представление
d
k
w
=
w
(
k
)
(
ω
)(
v, . . . , v
) =
=
col
(
f
k,m
1
(
v, . . . , v
)
, . . . , f
k,m
n
(
v, . . . , v
))
, f
k,m
i
∈
T
k
m
, i
= 1
, . . . , n.
(4)
Доказательство.
Каждой производной
w
(
k
)
(
ω
)
можно поставить в
соответствие элемент пространства
k
-линейных отображений из
R
m
×
×
. . .
×
R
m
в
R
n
[5, c. 490]. С другой стороны, ковалентный тензор
k
-й
валентности есть [4, с. 58] полилинейный функционал на
R
m
×
. . .
×
×
R
m
, что делает справедливым (4). #
Здесь и далее # означает конец доказательства.
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2012. № 1 19
