Перед тем как сделать следующий шаг, отметим, что формулиров-
ка утверждения 1 по существу накладывает на отображение
w
(
·
)
еще
одно дополнительное требование, а именно — положение аналитиче-
ского представления вектор-функции
w
(
·
)
. В случае апостериорного
моделирования
w
(
·
)
это требование не выполнимо, поэтому выше
ограничились анализом согласно задаче а) — менее реалистической,
но более логически выверенной задачей анализа свойств отображения
w
(
·
)
.
В следующем утверждении установим важное аналитическое свой-
ство, которым должна обладать вектор-функция
w
(
·
)
, в целях проясне-
ния вопроса: когда отображение
w
(
·
)
удовлетворяет, по крайней мере
при некоторых разумных дополнительных предположениях о нем, од-
ному из тех специальных конкретных законов, от которых произошло
понятие тензорной регрессии (1) как естественного продукта непре-
рывного процесса консолидации, абстрагирования и обобщения.
Утверждение 2.
Пусть
Ω
— открытая область в
R
m
,
w
(
·
)
—
отображение множества
Ω
в
R
n
и
ω
— некоторая точка из
Ω
.
Если существует производная Фреше
w
(
k
)
(
ω
)
, которая равномер-
но непрерывная функция от
ω
в
Ω
, то векторное отображение
w
(
·
) : Ω
→
R
n
удовлетворяет системе
(1)
с некоторыми тензорами
f
j,m
i
∈
T
j
m
,
1
i n
,
1
j k
, вектором
c
=
w
(
ω
)
∈
R
n
и матрицей
A
=
w
(1)
(
ω
)
∈
M
n,m
(
R
)
.
Доказательство.
В силу теоремы 2 [5, c. 491] равномерная непре-
рывность сильной производной
w
(
k
)
(
·
)
отображения
w
(
·
) : Ω
→
R
n
означает, что векторная разность
w
(
ω
+
v
)
−
w
(
ω
)
может быть предста-
влена в виде суммы конечного векторного ряда, выраженного форму-
лой (21) [5, c. 491] (аналогичной канонической формуле Тейлора для
разложения в степенной ряд вещественнозначной функции):
w
(
ω
+
v
) =
w
(
ω
) +
w
(1)
(
ω
)
v
+
w
(2)
(
ω
)(
v, v
)
/
2 +
. . .
+
+
w
(
k
)
(
ω
)(
v, . . . , v
)
/k
! +
ε
(
ω, v
)
,
где
ε
(
ω,
·
)
— вектор-функция класса
||
ε
(
ω, v
)
||
R
n
=
o
((
v
2
1
+
. . .
+
v
2
m
)
k/
2
)
, v
=
col
(
v
1
, . . . , v
m
)
.
Таким образом, компиляция этого положения с формулой (4) при-
водит к
w
(
ω
+
v
) =
c
+
Av
+
+
col
j
=2
,...,k
f
j,m
1
(
v, . . . , v
)
, . . . ,
j
=2
,...,k
f
j,m
n
(
v, . . . , v
) +
ε
(
ω, v
)
,
где
c
∈
R
n
,
A
∈
M
n,m
(
R
)
,
f
j,m
i
∈
T
j
m
,
j
= 2
, . . . , k
. #
20 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2012. № 1
