Как обычно [7, c. 501],
нормальным псевдорешением
системы ал-
гебраических уравнений
Dx
=
d
,
D
∈
M
q,p
(
R
)
,
d
∈
R
q
, назовем
вектор
x
∈
R
p
, имеющий наименьшую норму
||
v
||
R
p
среди всех векто-
ров, обеспечивающих минимум
||
Dx
−
d
||
R
q
. Далее обозначим через
E
q
— единичную
q
×
q
-матрицу и пусть
D
∈
M
q,p
(
R
)
, при этом че-
рез
D
+
обозначим обобщенную обратную (псевдообратную) матрицу
Мура–Пенроуза [7, c. 500] матрицы
D
; асимптотическая конструк-
ция псевдообратной матрицы имеет следующий аналитический вид:
D
+
= lim
{
D
т
(
DD
т
+
τE
q
)
−
1
:
τ
→
0
∈
R
}
. Тогда (см. формулу (50)
[8, c. 35]) вектор
x
=
D
+
d
— нормальное псевдорешение системы
линейных алгебраических уравнений
Dx
=
d
; условимся везде далее
знаком “
+
” обозначать операцию псевдообращения соответствующей
матрицы.
Допустим теперь, что в процессе функционирования ХТП проведе-
но
q
экспериментов типа вход–выход. Для взаимоувязывания стацио-
нарных параметров билинейно-тензорной регрессионной системы (5)
и
q
-данных (генеральной выборки) проведенных экспериментов обо-
значим через
ˆ
u
(
l
)
∈
R
m
(
m
+3)
/
2
,
1
l q
, вектор входных переменных,
имеющий с учетом верхней треугольной структуры у каждой матрицы
B
i
∈
M
m,m
(
R
)
,
1
i n
, следующее координатное представление:
ˆ
u
(
l
)
=
col
(
v
1(
l
)
, . . . , v
m
(
l
)
, v
1(
l
)
v
1(
l
)
, . . . , v
r
(
l
)
v
s
(
l
)
, . . . , v
m
(
l
)
v
m
(
l
)
)
∈
∈
R
m
(
m
+3)
/
2
,
1
r s m,
(6)
col
(
v
1(
l
)
, . . . , v
m
(
l
)
) =
v
(
l
)
∈
R
m
,
1
l q.
Назовем
полной матрицей экспериментальных данных
входных
переменных ХТП (6)
q
×
m
(
m
+ 3)
/
2
-матрицу вида
U
= [ˆ
u
(1)
, . . . ,
ˆ
u
(
l
)
, . . . ,
ˆ
u
(
q
)
]
т
∈
M
q,m
(
m
+3)
/
2
(
R
)
,
соответственно, вектор
w
i
=
col
(
w
i
(1)
−
w
i
(
ω
)
, . . . , w
i
(
l
)
−
w
i
(
ω
)
, . . . , w
i
(
q
)
−
w
i
(
ω
))
∈
R
q
назовем
полным вектором экспериментальных данных
i
-й выходной
переменной.
Далее, с учетом того, что в системе (5) каждая матрица
B
i
является
верхней треугольной, структура
i
-го уравнения (
i
= 1
, . . . , n
) данной
системы примет вид:
w
i
(
ω
+
v
) =
c
i
+
1
j m
a
ij
v
j
+
1
r s m
b
irs
v
r
v
s
+
ε
i
(
ω, v
)
.
(7)
Ясно, что в силу алгебраической структуры уравнения (7) задача
параметрической идентификации (2) должна решаться на некоторой
22 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2012. № 1
