базе
q
экспериментов относительно следующей группы векторов (раз-
мерности
m
(
m
+ 3)
/
2)
:
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
z
1
=
col
(
a
11
, . . . , a
1
m
, b
111
, . . . , b
1
rs
, . . . , b
1
mm
)
∈
R
m
(
m
+3)
/
2
,
1
r s m,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
z
i
=
col
(
a
i
1
, . . . , a
im
, b
i
11
, . . . , b
irs
, . . . , b
imm
)
∈
R
m
(
m
+3)
/
2
,
1
r s m,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
z
n
=
col
(
a
n
1
, . . . , a
nm
, b
n
11
, . . . , b
nrs
, . . . , b
nmm
)
∈
R
m
(
m
+3)
/
2
,
1
r s m
;
(8)
очевидно, что данная группа векторов полностью определяет (задает)
элементы матрицы
A
=
w
(
ω
)
(1)
∈
M
n,m
(
R
)
и матриц
B
i
∈
M
m,m
(
R
)
,
i
= 1
, . . . , n
в структуре регрессионных уравнений системы (5); ясно,
что вектор
c
задает опорный режим
c
=
w
(
ω
)
∈
R
n
.
Теперь можно привести аналитическое решение задачи параметри-
ческой идентификации модели билинейно-тензорной регрессии ХТП
только за счет апостериорной информации на базе предварительных
q
экспериментов.
Утверждение 3.
Задача идентификации
(2)
в терминах параме-
тров
(8)
регрессионной модели
(5)
имеет решение
z
∗
i
=
U
+
w
i
,
1
i n,
где
U
— полная матрица экспериментальных данных входных воздей-
ствий
(6)
, w
i
— полный вектор экспериментальных данных
i
-й выход-
ной переменной ХТП
(
i
= 1
, . . . , n
)
,
индуцированной переменными
(6)
.
Доказательство
. Далее приведем лишь схему доказательства. Как
следует из стандартных рассуждений регрессия (5) для каждого
l
-го
эксперимента согласно соотношениям (6), (7) приобретает следующий
компактный вид:
w
i
(
l
)
−
w
i
(
ω
) = ˆ
u
(
l
)
z
i
+
ε
i
(
l
)
, i
= 1
, . . . , n.
Таким образом, если переформулировать согласно последней си-
стеме оптимизационную задачу параметрической идентификации (2)
применительно к уравнениям регрессии в тензорной структуре (5), то
приходим к следующей многокритериальной постановке относитель-
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2012. № 1 23
