F
(
v
) =
i
=1
,...,n
r
i
J
i
(
v
)
,
является следующее требование
:
стационарная точка
v
∗
имеет элли-
птический тип, что равносильно положению
det[
d
ij
]
p
<
0
, p
= 1
, . . . , m,
(11)
где
[
d
ij
]
p
∈
M
p,p
(
R
)
, p
= 1
, . . . , m,
— главные подматрицы
[7
, c.
30]
матрицы
D
= (
r
1
D
1
+
. . .
+
r
n
D
n
)
∈
M
m,m
(
R
)
,
эквивалентно тому, что собственные числа
λ
p
матрицы
D
отвечают
неравенствам
λ
p
<
0
, p
= 1
, . . . , m.
(12)
Доказательство.
Основные положения доказательства повторяют
вывод утверждения 4, поэтому ограничимся схемой доказательства.
Необходимые условия локального экстремума имеют [5, c. 500] вид
n
уравнений:
r
1
∂
(
c
1
+
e
т
1
Av
+
v
т
B
1
v
)
/∂v
1
+
. . .
+
r
i
∂
(
c
i
+
e
т
i
Av
+
v
т
B
i
v
)
/∂v
n
+
. . .
+
+
r
n
∂
(
c
n
+
e
т
n
Av
+
v
т
B
n
v
)
/∂v
1
= 0
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
r
1
∂
(
c
1
+
e
т
1
Av
+
v
т
B
1
v
)
/∂v
n
+
. . .
+
r
i
∂
(
c
i
+
e
т
i
Av
+
v
т
B
i
v
)
/∂v
1
+
. . .
+
+
r
n
∂
(
c
n
+
e
т
n
Av
+
v
т
B
n
v
)
/∂v
n
= 0
,
что эквивалентно системе
n
уравнений:
r
1
(
e
т
1
Ae
1
+
e
т
1
B
1
v
+
e
т
1
B
т
1
v
) +
. . .
+
r
i
(
e
т
i
Ae
1
+
e
т
1
B
i
v
+
e
т
1
B
т
i
v
) +
. . .
+
+
r
n
(
e
т
n
Ae
1
+
e
т
1
B
n
v
+
e
т
1
B
т
n
v
) = 0
,
r
1
(
e
т
1
Ae
n
+
e
т
n
B
1
v
+
e
т
n
B
т
1
v
) +
. . .
+
r
i
(
e
т
i
Ae
n
+
e
n
B
i
v
+
e
т
n
B
т
i
v
) +
. . .
+
+
r
n
(
e
т
n
Ae
n
+
e
т
n
B
n
v
+
e
т
n
B
т
n
v
) = 0
.
Последняя система приводит к решению (10).
Если алгебраические условия (11) (равносильно (12)) не выполня-
ются, то критическая точка (10) функционального качества ХТП явля-
ется либо [11, c. 528] гиперболической (т.е. седловой точкой), либо
параболической точкой и, следовательно, требуется дополнительный
геометрический анализ критических регулируемых переменных ХТП,
выраженных формулой (10); говоря более формально, можно конста-
тировать: наличие седловой точки гарантирует смена хотя бы в одном
(но не во всех) неравенстве “<” из (11) (или (12)) на неравенство
“>”, при этом аналогичная смена отношения “<” на “ ”, возможно,
вызывает в аналитическом решении задачи оптимизации структуру
параболической точки.
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2012. № 1 27
