чисел,
R
n
—
n
-мерное векторное пространство над
R
с евклидовой
нормой
|| · ||
R
n
, col
(
y
1
, . . . , y
n
)
∈
R
n
— вектор-столбец с элементами
y
1
, . . . , y
n
∈
R
и пусть
M
n,m
(
R
)
— пространство всех матриц разме-
ра
n
×
m
с элементами из
R
и фробениусовой матричной нормой
||
D
||
F
=
d
2
ij
1
/
2
,
D
= [
d
ij
]
. Далее, через
T
k
m
обозначим простран-
ство всех ковариантных тензоров
k
-й валентности (вещественных
полилинейных форм
f
k,m
:
R
m
×
. . .
×
R
m
→
R
) с тензорной нормой
||
f
k,m
||
Т
=
t
2
i...j
1
/
2
, где
t
i...j
— коэффициенты [4, с. 61] тензора
f
k,m
, значения которых заданы относительно стандартного алгебраи-
ческого базиса [7, с. 15] в евклидовом пространстве
R
m
.
Пусть
ω
∈
R
m
— некоторый опорный режим заданного ХТП. Далее
будем рассматривать класс многомерных статических стационарных
нелинейных систем “вход–выход”, описываемых векторно-тензорным
уравнением регрессии вида
w
(
ω
+
v
) =
c
+
Av
+
+
col
j
=2
,...,k
f
j,m
1
(
v, . . . , v
)
, . . . ,
j
=2
,...,k
f
j,m
n
(
v, . . . , v
) +
ε
(
ω, v
)
,
(1)
где
w
(
ω
+
v
)
∈
R
n
,
v
∈
R
m
,
c
∈
R
n
,
A
∈
M
n,m
(
R
)
,
f
j,m
i
∈
T
j
m
, вектор-
функция
ε
(
ω,
·
)
:
R
m
→
R
n
класса
||
ε
(
ω, v
)
||
R
n
=
o
((
v
2
1
+
. . .
+
v
2
m
)
k/
2
)
,
v
=
col
(
v
1
, . . . , v
m
)
.
Постановка задачи
: а) для заданного значения
ω
∈
R
m
аргумента
исследуемой вектор-функции ХТП
w
(
·
) : Ω
→
R
n
, где
Ω
— открытая
область в
R
m
, и фиксированного индекса
k
определить аналитические
условия, при которых отображение
w
(
·
)
удовлетворяет системе (1) с
некоторыми
c
,
A
,
f
j,m
i
,
1
i n
,
1
j k
;
б) построить векторные матрично-тензорные апостериорные оцен-
ки для
c
,
A
,
f
j,m
i
,
1
i n
,
1
j k
из решения двухкритериальной
задачи параметрической оптимизации (параметрическая идентифика-
ция нелинейной регрессионной модели ХТП):
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎩
min
1
l q
||
w
(
l
)
−
c
−
Av
(
l
)
−
−
col
j
=2
,...,k
f
j,m
1
(
v
(
l
)
, . . . , v
(
l
)
)
, . . . ,
j
=2
,...,k
f
j,m
n
(
v
(
l
)
, . . . , v
(
l
)
)
||
R
n
2 1
/
2
,
min
||
c
||
2
R
n
+
||
A
||
2
F
2
+
i
=1
,...,n j
=2
,...,k
||
f
j,m
i
||
2
Т
1
/
2
;
(2)
здесь
w
(
l
)
∈
R
n
,
v
(
l
)
∈
R
m
,
1
l
q
— векторы экспериментальных
данных (
w
(
l
)
— реакция на вариацию
v
(
l
)
относительно точки опорного
18 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2012. № 1
