. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
т
i
Ae
n
+
e
т
n
B
i
v
+
e
т
n
B
т
i
v
= 0
,
которые (как несложно убедиться) определяют в пространстве
R
m
гео-
метрические координаты (9) для стационарной точки функционала
J
i
(
v
)
.
Вместе с тем знакоопределенность второго дифференциала
d
2
J
i
(
v
∗
) =
1
g m
1
p m
∂
2
J
i
(
v
)
/∂v
g
v
p
|
v
∗
v
g
v
p
= 2
−
1
v
т
D
i
v
определяет достаточные условия [11, c. 335] для локального экстре-
мума в критической точке (9).
Координаты стационарной точки (9) позволяют ответить на вопрос
о значении функционала
J
i
(
v
)
, когда данная точка является точкой от-
носительного минимума (или максимума), что констатирует следую-
щее предложение:
Следствие 2.
Если
D
i
является отрицательно определенной (по-
ложительно определенной) матрицей, то максимальное (соответ-
ственно минимальное) значение функционала
J
i
(
v
∗
)
равно
J
i
(
v
∗
) =
=
c
i
−
e
т
i
AD
−
1
i
A
т
e
i
/
2
, где
c
i
—
i
-я координата вектора
c
∈
R
n
сис-
темы
(5)
.
Доказательство строится подстановкой (9) в (1).
Переходим теперь к исследованию более сложного (задача в) ва-
рианта задачи оптимизации характеристик ХТП, который играет фун-
даментальную роль в более реалистических и одновременно более
трудных задачах при расчете оптимальных технологических параме-
тров режима функционирования ХТП. Его основой является методо-
логическое положение — каждый функционал
J
i
(
v
)
,
1
i n
, п ри
соответствующем истолковании может быть обобщен на случай це-
левого функционала (3). Таким образом, утверждение 4 и формула
(9) позволяют за конечную последовательность алгоритмических дей-
ствий найти
точные
геометрические координаты стационарной точки
задачи оптимизации (3).
Утверждение 5.
Пусть
D
i
= (
B
i
+
B
т
i
)
∈
M
m,m
(
R
)
,
1
i n
, где
каждая
B
i
— матрица регрессионной системы
(5)
и diag
[
. . .
]
— диа-
гональная
n
×
n-матрица. Тогда вектор
v
∗
∈
R
m
стационарной точки
задачи оптимизации
(3) (
задача максимизации взвешенно-усредненной
оценки качества ХТП
)
имеет вид
v
∗
=
−
(
r
1
D
1
+
. . .
+
r
n
D
n
)
−
1
((
e
1
+
. . .
+
e
n
)
т
diag[
r
1
, . . . , r
n
]
A
)
т
∈
R
m
,
(10)
при этом достаточным условием, что
v
∗
обеспечивает для ХТП ка-
чество
max
{
F
(
v
) :
v
∈
R
m
}
,
26 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2012. № 1
