Значения коэффициентов
λ
k
для стержня, заделанного по обоим
концам, следующие:
λ
1
= 4
,
730;
λ
2
= 7
,
853;
λ
k
=
2
k
+ 1
2
π
(
k >
2)
.
Для основной системы (рис. 4,
б
) строим систему взаимно ортого-
нальных координатных функций следующим образом. Первую коор-
динатную функцию берем в виде
ψ
1
(
α
(
t
)
, s
) =
ϕ
2
(
s
)
ϕ
1
(
α
(
t
))
−
ϕ
2
(
α
(
t
))
ϕ
1
(
s
)
,
(9)
вторую координатную функцию — как
ψ
2
(
α
(
t
)
, s
) =
ϕ
3
(
s
)
ϕ
1
(
α
(
t
))
−
ϕ
3
(
α
(
t
))
ϕ
1
(
s
)
−
b
1
2
ψ
1
(
α
(
t
)
, s
)
,
(10)
где
b
1
2
(
α
(
t
))
находим из условия ортогональности первой и второй
форм колебаний по формуле
(
ψ
2
(
α
(
t
)
,
)
, ψ
1
(
α
(
t
)
, s
)) = 0;
третья координатная функция имеет вид
ψ
3
(
α
(
t
)
, s
) =
ϕ
4
(
s
)
ϕ
1
(
α
(
t
))
−
−
ϕ
4
(
α
(
t
))
ϕ
1
(
s
)
−
b
1
3
ψ
1
(
α
(
t
)
, s
)
−
b
2
3
ψ
2
(
α
(
t
)
, s
)
,
(11)
где функции
b
1
3
(
α
(
t
))
и
b
2
3
(
α
(
t
))
находятся из условий
(
ψ
3
(
α
(
t
)
, s
)
, ψ
1
(
α
(
t
)
, s
)) = 0;
(
ψ
3
(
α
(
t
)
, s
)
, ψ
2
(
α
(
t
)
, s
)) = 0
.
Аналогично находим координатные функции более высокого по-
рядка. Несмотря на громоздкость, все выражения будут получены
в явном виде. При таком выборе координатных функций условие
ψ
j
(
α
(
t
)
, α
(
t
)) = 0
выполняется тождественно. Тогда нестационар-
ные краевые условия на промежуточной опоре тождественно выполня-
ются.
Воспользуемся методом Галеркина. С помощью этого метода мож-
но исходную систему дифференциальных уравнений в частных про-
изводных свести к системе обыкновенных дифференциальных урав-
нений, которая в дальнейшем будет численно интегрироваться по вре-
мени. Применяя метод Галеркина общее решение ищем в следующем
виде:
v
(
t, s
) =
f
j
(
t
)
ψ
j
(
α
(
t
)
, s
) ;
δv
(
t, s
) =
δf
j
(
t
)
ψ
j
(
α
(
t
)
, s
)
.
(12)
В настоящей работе ограничимся рассмотрением разложения толь-
ко по первой координатной функции:
v
=
f
(
t
)
·
ψ
1
(
α, s
)
.
(13)
50 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2009. № 1
