Приводя уравнение (15) к форме Коши, получаем
˙¯
Y
=
2
π
ω
0
⎡
⎢⎣
0
1
J
7
Q
x
1
l
−
J
3
J
1
−
J
2
J
1
⎤
⎥⎦
¯
Y ,
(16)
где
¯
Y
=
f,
˙
f
т
,
¯
p
= (
α
0
, α
1
, ω
0
, d, Q
x
1
l
, b
)
— векторы параметров,
характеризующих поведение системы.
Анализ системы без возбуждения промежуточной опоры.
Рас-
смотрим поведение инструмента без внешнего возбуждения промежу-
точной опоры. Пусть
α
1
= 0
⇒
α
=
α
0
=
const. В этом случае
дифференциальное уравнение (15) становится уравнением с постоян-
ными коэффициентами:
¨
f
+
p
2
f
= 0
,
(17)
где
p
=
J
3
(
α
0
)
−
J
7
(
α
0
)
Q
x
1
l
J
1
(
α
0
)
— приближенная собственная частота
колебаний невозбужденной системы для первой координатной функ-
ции.
Точные значения спектра собственных частот для стержня с проме-
жуточной опорой, заделанного по обоим концам, при
Q
x
1
l
= 0
можно
найтикак корничастотного уравнения:
K
3
(
λα
0
) [
K
4
(
λl
)
K
3
[
λ
(
l
−
α
0
)]
−
K
3
(
λl
)
K
4
[
λ
(
l
−
α
0
)]]
−
−
K
4
(
λα
0
) [
K
3
(
λl
)
K
3
[
λ
(
l
−
α
0
)]
−
K
2
(
λl
)
K
4
[
λ
(
l
−
α
0
)]] = 0
,
тогда частоты колебаний определяются как
p
i
=
λ
2
i
.
Из рис. 5,
а
видно, что при
α
0
= 0
,
5
точное и приближенное зна-
чения собственной частоты колебаний совпадают. Максимальное рас-
хождение между ними достигается, когда промежуточная опора при-
ближается к концам стержня, и составляет 23%.
Сила резания, при которой происходит потеря статической устой-
чивости стебля инструмента, определяется по формуле
Q
crit
=
J
3
J
7
.
(18)
Зависимость собственной частоты колебаний по первой координат-
ной функции от положения промежуточной опоры и значения осевой
силы показана на рис. 5,
б
и6.
Численный анализ устойчивости инструмента с подвижной
промежуточной опорой.
Численный анализ устойчивости решения
(16) проводим методом Флоке [12]. Интегрируя систему уравнений
(16) по времени, построим матрицу монодромии
M
.
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2009. № 1 53
