настоящей работы — исследование устойчивости системы, то можно
ограничиться линейным приближением:
L
(
s, t
) =
∂
2
v
∂t
2
+
b
∂v
∂t
−
J
33
F
∂
2
v
∂t
2
−
Q
x
1
l
v
+
v
IV
= 0
.
(6)
В дальнейшем в расчетах будем считать, что стебель инструмента
имеет кольцевое сечение диаметром
d
итолщиной стенки
δ
. Расчетное
сечение стебля инструмента имеет следующие характеристики:
F
=
πdδ, J
33
=
πd
3
δ
8
,
J
33
F
=
1
8
d
2
.
Дискретизация уравнений модели.
В настоящей статье в каче-
стве расчетной схемы рассматривается модель, в которой положение
промежуточной опоры является заданной функцией времени. Следо-
вательно, задача имеет нестационарные граничные условия. Таким
образом, решение поставленной задачи представляет собой исследо-
вание дифференциального уравнения в частных производных (5) с
нестационарными граничными условиями. Решение этой краевой за-
дачи возможно приближенно в численном виде. Основная идея реше-
ния — это построение ортогональной системы координатных функций
для стержня с промежуточной подвижной опорой. Для этого сначала
рассмотрим вспомогательную систему — стержень “заделка–заделка”.
Координатные функции вспомогательной системы (рис. 4,
а
) долж-
ны удовлетворять граничным условиям и условию ортогональности:
ϕ
j
(
s
) :
ϕ
j
(0) = 0
, ϕ
j
(1) = 0
, ϕ
j
(0) = 0
, ϕ
j
(1) = 0;
(
ϕ
k
(
s
)
, ϕ
l
(
s
)) =
1
0
ϕ
k
(
s
)
ϕ
l
(
s
)
ds
=0
.
(7)
В качестве функций
ϕ
j
(
s
)
можно выбрать формы собственных коле-
баний стержня, заделанного по обоим концам:
ϕ
j
(
s
) =
K
3
(
λ
k
)
K
4
(
λ
k
s
)
−
K
4
(
λ
k
)
K
3
(
λ
k
s
)
,
(8)
где
K
3
(
s
)
, K
4
(
s
)
— функции Крылова.
Рис. 4. Вспомогательная (
a
) и основная (
б
) системы
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2009. № 1 49
