угла
ϑ
3
через поперечные перемещения
v
и разложим их в ряд Тей-
лора:
∂u
∂s
= 1
−
∂v
∂s
2
−
1
≈ −
1
2
∂v
∂s
2
+
. . .
;
v
3
= arcsin
∂v
∂s
≈
∂v
∂s
+
1
6
∂v
∂s
3
+
. . . .
Отдельно проинтегрировав первое и четвертое уравнения системы
(3), получим зависимости продольных перемещений и осевой силы,
действующей на инструмент, от его прогибов:
u
=
−
1
2
˜
s
0
(
v
)
2
ds
;
Q
x
1
=
˜
s
0
∂
2
u
∂t
2
ds
+
Q
x
10
=
=
Q
x
1
l
−
l
˜
s
∂
2
u
∂t
2
ds
=
Q
x
1
l
+
1
2
l
ˆ
s
⎛
⎝
˜
s
0
∂
2
(
v
)
2
∂t
2
ds
⎞
⎠
d
˜
s,
(4)
где
Q
x
1
l
=
−
F
p
— сила резания.
Далее вводим обозначение для производной по осевой координате
стержня
∂
∂s
= ( )
.
Подставляя в третье уравнение системы (3) выражение для осевой
силы (4) и исключив
v
,
M
3
и
Q
x
2
, получаем нелинейное уравнение
движения плоского стержня. В этом выражении сохраняем члены не
выше третьего порядка и вводим внешнее трение, тогда окончательно
получаем
J
33
F
1 + (
v
)
2
∂
2
v
∂t
2
+ 2
v v
∂
2
v
∂t
2
+
∂v
∂t
∂v
∂t
+
v
∂v
∂t
2
+
+
1
2
⎡
⎣
v
l
ˆ
s
d
˜
s
˜
s
0
∂
2
∂t
2
(
v
)
2
ds
⎤
⎦
−
∂
2
v
∂t
2
−
b
∂v
∂t
+
Q
x
1
l
v
−
v
IV
=
= (
v
)
2
v
IV
+ 4
v v v
+ (
v
)
3
−
Q
x
1
l
3
2
(
v
)
2
v ,
(5)
где
b
— коэффициент вязкого трения.
Таким образом, уравнение (5) описывает нелинейные поперечные
колебания стержня с нерастяжимой осью. Поскольку основная задача
48 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2009. № 1
