Для проведения дальнейших вычислений перейдем к безразмер-
ным величинам, отнеся все линейные размеры к длине стержня
l
:
s
=
l
˜
s, u
=
l
˜
u, v
=
l
˜
v, w
=
l
˜
w, F
=
l
2
˜
F , J
ii
=
l
4
˜
J
33
.
В качестве масштаба временивыберем
˜
t
=
p
0
t
, где
p
2
0
=
EJ
33
ρF l
4
.
Для приведения кинематических уравнений и уравнений движе-
ния к безразмерному виду были введены следующие безразмерные
величины:
˜
ω
=
ω/p
0
— безразмерная угловая скорость;
˜
M
=
Ml
EJ
33
—
безразмерный момент;
˜
Q
=
Ql
2
EJ
22
— безразмерная поперечная внешняя
сила.
Окончательно уравнения движения стержня с учетом сил инерции
приведем в виде:
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
∂Q
x
1
∂s
−
∂
2
u
∂t
2
= 0;
∂Q
x
2
∂s
−
∂
2
v
∂t
2
= 0;
∂M
3
∂s
=
J
33
F
∂
2
ϑ
3
∂t
2
−
Q
x
2
cos
ϑ
3
+
Q
x
1
sin
ϑ
3
;
du
ds
= cos
ϑ
3
−
1;
dv
ds
= sin
ϑ
3
;
dϑ
3
ds
=
M
3
,
(3)
где
Q
x
1
и
Q
x
2
— проекции внутренних сил на направления
x
1
и
x
2
соответственно.
В уравнениях (3) и далее используются только безразмерные пере-
менные, поэтому знак “
˜
” над переменнымиопущен.
Дальнейшие преобразования в символьном виде проводились с ис-
пользованием пакетов Maple и Matlab. Последовательно подставляя
уравнения системы (3) можно получить дифференциальное уравне-
ние изгибных колебаний плоского стержня в частных производных.
Поскольку система решается методом Галеркина, имеющим квадра-
тичную сходимость, то в этих уравнениях оставляем члены не выше
третьего порядка малости.
Воспользуемся кинематическими соотношениями, получим нели-
нейные выражения для производной продольного перемещения
∂u
∂s
и
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2009. № 1 47
