c
k
=
Re
1
2
{
b
k
(
jω
)
W
a.c
(
jω
)
−
a
k
(
jω
)
}
,
d
k
=
Im
1
2
{
b
k
(
jω
)
W
a.c
(
jω
)
−
a
k
(
jω
)
}
, k
= 1
,
2;
c
0
=
Re
[
b
0
(
jω
)
W
a.c
(
jω
)
−
a
0
(
jω
)]
,
d
0
=
Im
[
b
0
(
jω
)
W
a.c
(
jω
)
−
a
0
(
jω
)]
.
Для решения этойсистемы приведем первое из уравнений(13) к
каноническому виду. Для этого воспользуемся преобразованием си-
стемы координат. Далее, выражая из полученного уравнения одну
из переменных и подставляя во второе преобразованное, приходим
к уравнению 4-йстепени; его решения после выполнения обратного
преобразования координат являются значениями искомых переменных
X
1
и
X
2
, при которых исследуемая система может находиться на гра-
нице устойчивости.
Анализ влияния неподвижных масс топлива на положение гра-
ниц устойчивости.
Пользуясь изложеннойметодикой, построим обла-
сти устойчивости системы для различных значений неподвижных масс
топлива в баках
m
1
и
m
2
. В расчете част´оты осцилляторов примем рав-
ными друг другу, а значения коэффициентов затухания — достаточно
большими. В качестве варьируемого параметра выберем отношение
полных и колеблющихся масс топлива
κ
=
m
1
m
∗
1
=
m
2
m
∗
2
.
(14)
На рис. 2 приведены области устойчивости, построенные для раз-
личных значений
κ
(заштрихованные области).
При изменении параметра
κ
от 0 до 1 происходит расширение
внешнейэллиптическойграницы области, соответствующейчастотам
колебаний, близким к частоте
ω
0
перехода через нуль фазовойха-
рактеристики автомата стабилизации (в данном примере эта частота
равна
≈
1
,
5
Гц при частотах колебания жидкости, близких к 0,5 Гц).
Особенно интенсивно расширение происходит в сторону увеличения
параметров
X
1
и
X
2
. При этом внутренние области неустойчивости
на частотах, соответствующих колебаниям жидкости, остаются прак-
тически неизменными.
При дальнейшем увеличении отношений неподвижных и колеблю-
щихся масс топлива в районе
κ
≈
1
,
1
внешняя эллиптическая граница
исчезает, в результате чего область устойчивости становится ограни-
ченнойдвумя незамкнутыми линиями. Сверху эта область ограниче-
на прямой, соответствующейапериодическойгранице устойчивости.
Уравнение этойпрямойполучается из системы (12) при подстановке
в формулы расчета коэффициентов
ω
= 0
. Снизу область ограничена
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2010. № 4 9
