9 / 13
Структура фронта ударной волны в двухфазном пористом материале
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение. 2017. № 3
49
(
) (
)
(
) (
)
[
]
(
)
[
]
(
)
(
)
2
0
0
2
0
0
0
3
1
1
1
2
1
1
ln
,
0;
4
1 1
3
1
lim .
d
k
d kR
ξ→+∞
α α− δ + α−
α δ + α−
α
α −α
=
+ γ − δ
+
ξ >
ξ
α− − δ + ζαδ
α
α δ + α −
∃ α = α
(25)
Используя аналогичную случаю
0
R
=
процедуру последовательного разло-
жения в ряд правой части дифференциального уравнения (25) по степеням
(
)
0
α −α
и
(
)
*
,
α − α
получаем
(
)
[
]
(
)
(
) (
)
[
]
(
) (
)
*
*
0
*
2
0
*
*
0
3 1 1 ( 1)
2 1
,
0;
4
1 1
lim .
d
d
kR
ξ→+∞
α − + γ − δ δ + α −
α =
α − α α− α ξ >
ξ
α α − − δ + ζα δ
∃ α = α
(26)
Решение задачи (26), определяющее уравнение волнового профиля в рас-
сматриваемом (сильновязком) режиме затекания пор, имеет следующий вид:
(
)
(
)
(
) (
)
[
]
(
)
[
]
(
) (
) (
) (
)
0
*
1/2
0
*
*
*
*
0 *
*
*
exp
,
0;
exp
1
2 2
1 1
1
.
3 1
1 2 1
R
α ξ Δ + α
α =
ξ ≥
ξ Δ +
α α − − δ + ζα δ α δ + α −
Δ =
− δ α −α α − δ + α −
(27)
При
0
δ =
уравнение волнового профиля известно [12].
Отличительная особенность реализуемого режима затекания пор — преобла-
дающее влияние на структуру фронта УВ механических свойств материалов фаз
пористого материала: симплексов подобия
R
— аналога числа Рейнольдса
Re
=
1
R
−
=
и
ζ
— меры соотношения коэффициентов вязкости фаз изучаемой двух-
фазной системы. Отметим, что в рассматриваемом случае волна имеет монотонный
профиль, минимальное значение параметра пористости
*
α
достигается при
.
ξ→ −∞
Общий случай.
Найдем решение задачи (4)–(6) для случая, когда реализуе-
мый режим затекания пор сопровождается проявлением и инерционных, и вяз-
ких эффектов. Предположение, что УВ является слабой, определяет следующие
асимптотические оценки:
2
2
2
2
2
2
0
0
~ ;
~ .
d
d
d
d
ω→+
ω→+
α ω α
ω
ξ
ξ
ξ
ξ
Это позволяет пренебречь первым слагаемым в правой части уравнения (4)
и представить реализуемую математическую модель в виде
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
}
2/3
2
0
1
0
2
0
4
1
1 1
, ,
,
, , ,
,
0;
3 1
1
lim 0;
lim .
kR
d
d
A
F
k
d
d
d
d
−
ξ→+∞
ξ→+∞
α − α − − δ + ζαδ
α
α
= α δ γ
− α α δ γ
ξ >
ξ
α −
δ + α−
ξ
α ∃
= ∃ α = α
ξ
(28)