3 / 13
Структура фронта ударной волны в двухфазном пористом материале
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение. 2017. № 3
43
где
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
2/3
0
0
0
2
0
2
0
0
0
,
, , ,
1 1 ( 1)
1
2 ln
;
3
1
1,
;
;
, 0 1.
F
k
k
+
+
α − α
α α δ γ = α α −
+ γ − δ
+
α
α δ + α−
+
α δ + α −
α∈ α ζ∈ γ∈ < δ ≤
(5)
Структура функционалов
(
)
, ,
A
α δ γ
и
(
)
, ,
B
α δ γ
известна [14]:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
2
2/3 2/3
1
1/3
2/3
2/3
2
1/3
1/3
1
2
1
1/3
1/3
4/3
2
1/3
, ,
,
,
;
1
(
1)
,
;
3(
1)
2
1
( 1)
(
1)
1
( , )
;
3( 1)
2
3(
1)
, ,
,
,
;
1
1
1
( , )
;
(
1)
3(
1)
1
1
( , )
(
1)
(
B
A
A
A
A
A
B
B
B
B
α δ γ = α δ + γ α δ
− δ
δ + α− −α
α δ =
+
δ + α−
α− − δ + α−
− δ
α δ =
+
−
α−
δ + α−
α δ γ = α δ + γ α δ
− δ
α δ = −
+
α δ + α−
δ + α−
α δ =
−
δ + α−
α−
1/3
4/3
4/3
1
1
.
1)
3( 1)
3(
1)
− δ
+
−
α−
δ + α−
(6)
В математической модели (4)–(6)
2
1
1
0
1
1 ;
;
;
;
Y k
R
D
a Y
η
μ ρ
=
=
ζ = γ =
ρ
η ρ
ρ
,
η μ
— коэффициенты вязкости фаз 1, 2.
Для достижения основной цели исследования ограничим дальнейший ана-
лиз определением точек покоя системы (4)–(6). Вопросы установления тополо-
гической структуры разбиения фазовой плоскости изучаемой системы на тра-
ектории по их типам с применением методов качественной теории дифферен-
циальных уравнений [15–17] в работе не рассматриваются.
Системы алгебраических уравнений для определения точек покоя (4)–(6).
Для удобства дальнейших рассуждений введем новое переменное
.
g d d
α ξ
(7)
В этом случае
2
2
,
d d dg d
α ξ = ξ
и, согласно (4) и (7), приходим к нормальной
системе обыкновенных дифференциальных уравнений:
(
) (
)
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
2/3
0
1
2
0
;
, ,
4
1
, ,
6
3 1
1 1
,
, , ,
.
1
d g
d
B
kR
dg A
g
d
g F
k
−
α =
ξ
α δ γ
α −
= α δ γ
+
×
ξ
α −
α− − δ + ζαδ
×
− α α δ γ
δ + α−
(8)