8 / 13
А.В. Аттетков, И.К. Волков, Е.В. Пилявская
48
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение. 2017. № 3
(
)
0
*
1,
α ∈ α
является малым параметром, т. е.
1.
ω
С использованием данного
предположения найдем решение исходной задачи (4)–(6) для двух предельных ре-
жимов затекания пор во фронте УВ — инерционном
(
)
0
R
=
и сильновязком
(
)
1 .
R
Инерционный режим пластического затекания пор.
При
0
R
=
дифферен-
циальное уравнение (4) интегрируется, а исходная математическая модель (4)–(6),
используемая при анализе структуры фронта УВ, принимает следующий вид:
(
)
(
)
(
)
[
]
(
) (
)
(
) (
) (
)
(
)
(
)
2
2
2/3
0
0
1
0
2
0
2
0
0
2
2
0
0
0
2
2
1
, ,
1
1
3
2
1
1
1
1 ln
ln
,
0;
1
1
lim ,
d
A
d
k
−
ξ→+∞
α − α α+ α
α
= α −
α δ γ + γ − δ
−
ξ
α
α δ + α−
δ + α −
− − δ α −α + − δ
+ α
ξ >
δ + α−
α δ + α −
∃ α = α
(22)
где функционал
(
)
, ,
A
α δ γ
определен в (6).
Используя разложения в ряд правой части дифференциального уравнения
(22) вначале по степеням
(
)
0
,
α −α
затем по
(
)
*
,
α − α
получаем
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
2
2/3 1
0
*
2
0
2
2
0
*
2
*
0
1
1
2
1
, ,
3
1
,
0;
1
lim .
d
A
d
k
−
ξ→+∞
+ γ − δ
α
= α −
α δ γ
+
ξ
α
− δ
+
α − α α− α ξ >
δ + α −
∃ α = α
(23)
Решение задачи (23) находится стандартными методами [15] и имеет вид
(
)
(
)
(
) (
) (
)
(
)
[
]
(
) (
) (
)
[
]
2
0
*
*
1/3
0 0
1/2
*
*
0
0
*
*
*
th ,
0;
2
1
3 , ,
1
1
.
1 ( 1) 2 1
1 2
A
−
ξ
α − α = α − α
ξ ≥
Δ
Δ = α α − ×
α δ γ − δ δ + α −
×
α − α + γ − δ − δ α + δ − + α + α
(24)
Уравнение волнового профиля (24) при
0
δ =
согласуется с известным урав-
нением [12]. В данной работе определена и область пригодности используемого
разложения. Видно, что в рассматриваемом (инерционном) режиме затекания
пор ширина фронта УВ не зависит от механических свойств материалов фаз
изучаемой системы, доминирующее влияние на структуру фронта УВ оказывает
микроструктура двухфазного пористого материала.
Сильновязкий режим затекания пор.
Предположение
1
R
позволяет пре-
небречь инерционными слагаемыми в дифференциальном уравнении (4) и пред-
ставить исходную математическую модель (4)–(6) в следующем виде: