4 / 13
А.В. Аттетков, И.К. Волков, Е.В. Пилявская
44
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение. 2017. № 3
В фазовой плоскости
α
0
g
точки покоя изучаемой системы определяются как
корни алгебраических систем
0
0,
( ,
, , , ) 0
g
F
k
=
α α δ γ =
(9)
и
0,
( , , ) ,
g
A
=
α δ γ = ∞
(10)
принадлежащие множеству
2
0
: 1
,
G
g
α
= ∈ ≤ α ≤ α
что непосредственно следует из (5) и (8). А поскольку
0
g
=
и в системе (9), и в
системе (10), то, в случае своего существования, любая точка покоя изучаемой
системы принадлежит отрезку
[
]
0
1,
α
оси
0 ,
α
т.
е. имеет координаты
(
)
, 0 ,
α
где
[
]
0
1,
.
α∈ α
Точки покоя, определяемые системой (9).
1. Согласно (9) и (5), при любых
значениях входящих параметров всегда существует точка покоя
0
0
( , 0),
O
= α
являющаяся очевидной.
2. Выясним, является ли точкой покоя изучаемой системы точка
О
1
= (1, 0);
ее наличие связано с физическим процессом полного пластического затекания
пор во фронте УВ. Отметим, что, согласно (5), имеет место очевидное неравен-
ство
1 ( 1) 0,
+ γ − δ >
(11)
а второе уравнение системы (9) может быть представлено в эквивалентном виде
(
)
[
]
(
)
(
)
2 2
0
0
0
0
1
2
ln
.
3 1
1
1
k
α δ + α −
α
α = α +
+ γ − δ α δ + α −
(12)
Полагая в (12)
1,
α =
приходим к новому равенству
(
)
[
]
2 2
0
0
0
0
2
1
ln
,
3 1
1
1
k
α
α δ
α − = −
+ γ − δ δ + α −
(13)
которое может быть реализовано лишь при выполнении неравенства
1,
δ <
(14)
поскольку справедливо неравенство (11), согласно (5), имеет место неравенство
0
1 0
α − >
и
(
)
(
)
0
0
0
0
1
1
1 .
1
α δ
< ⇔ α δ < δ + α − ⇔ δ <
δ + α −