Осреднение по объему композита возмущений деформации и на-
пряжений по всем включениям и частицам матрицы должно, согласно
методу самосогласования, привести к нулевому результату, т. е.
h
ˆ
ε
◦
i
C
◦
V
+
N
X
ς
=1
h
ˆ
ε
(
ς
)
i
C
(
ς
)
V
=
b
O
2
,
h
Δˆ
σ
◦
i
C
◦
V
+
N
X
ς
=1
h
Δˆ
σ
(
ς
)
i
C
(
ς
)
V
=
b
O
2
,
где
b
O
2
— тензор второго ранга с нулевыми компонентами. Все тензоры
второго ранга, входящие в левые части этих равенств и определенные
формулами (11) и (13), имеют один и тот же множитель
ˆ
ε
0
, характе-
ризующий макроскопически однородное деформированное состояние
композита. Поэтому при осреднении этот множитель можно опустить
и перейти к осреднению тензоров четвертого ранга, определенных
формулами (12) и (14):
h
b
u
◦
i
C
◦
V
+
N
X
ς
=1
h
b
u
(
ς
)
i
C
V
=
b
O
4
,
h
b
v
◦
i
C
◦
V
+
N
X
ς
=1
h
b
v
(
ς
)
i
C
V
=
b
O
4
.
(15)
Тензоры
b
v
◦
и
b
v
(
ς
)
по сравнению соответственно с тензорами
b
u
◦
и
b
u
(
ς
)
имеют одинаковый дополнительный множитель в виде изотропного
тензора
b
C
−
b
C
∙ ∙
c
W
. Поэтому осреднение левых частей обоих равенств
(15) даст одинаковый результат, т. е. достаточно осреднить более про-
стые по структуре тензоры
b
u
◦
и
b
u
(
ς
)
.
В первые формулы (12) и (14) входит внутреннее произведение
изотропных тензоров
b
C
и
c
W
. С учетом формул (1), (2) и (11) получим
b
C
∙ ∙
c
W
◦
= 9
K
1
−
ν
1 +
ν
b
V + 15
G
1
−
ν
4
−
5
ν
b
D
.
Тогда, продолжив преобразования, вместо первой формулы (12) с уче-
том зависимости
ν
от
K
и
G
запишем
b
u
◦
=
3
K
+ 4
G
3
K
◦
+ 4
G
−
1
b
V +
5
G
(3
K
+ 4
G
)
6
G
◦
(
K
+ 2
G
) +
G
(9
K
+ 8
G
)
−
1
b
D
,
а вместо первой формулы (14) —
b
u
(
ς
)
=
3
K
+ 4
G
C
(
ς
)
iimm
/
3 + 4
G
−
1
b
V+
+
5
G
(3
K
+ 4
G
)
3(
C
(
ς
)
imim
−
C
(
ς
)
iimm
/
3)(
K
+ 2
G
)
/
5 +
G
(9
K
+ 8
G
)
−
1
b
D
.
Операция осреднения этих тензоров равносильна вычислению их ли-
нейных инвариантов путем полной свертки с тензорами
b
V
и
b
D
[ 1, 3 ].
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение” 2014. № 6 37
