композита с изотропными шаровыми включениями из одного материа-
ла, в этой части рассмотрены анизотропные включения из различных
материалов. Примем, что включения могут иметь размеры от некото-
рого конечного до бесконечно малого, т. е. возможно заполнение всех
пустот между включениями и поэтому объемная концентрация
C
V
включений может принимать любые значения на отрезке
[0; 1]
.
Основные соотношения.
Пусть композит состоит из изотропной
линейно упругой матрицы, свойства которой характеризуют объемный
модуль
K
◦
упругости и модуль сдвига
G
◦
, и линейно упругих анизо-
тропных шаровых включений
N
типов с объемной концентрацией
C
(
ς
)
V
,
ς
= 1
, N
. Заданные упругие характеристики включений каждого
типа определяют тензоры
b
C
(
ς
)
и
b
S
(
ς
)
коэффициентов упругости и по-
датливости соответственно. Примем, что главные оси этих тензоров
для каждого типа включений равновероятно распределены по всем
возможным направлениям. Это означает, что композит не обладает
текстурой и допустимо рассматривать его некоторый представитель-
ный объем
V
, по отношению к которому композит можно считать
изотропным.
Искомые упругие свойства композита представим тензорами че-
твертого ранга коэффициентов упругости и податливости соответ-
ственно:
b
C = 3
K
b
V + 2
G
b
D
,
b
S = 1
/
(3
K
)
b
V + 1
/
(2
G
)
b
D
,
(1)
где
K
— объемный модуль упругости,
G
— модуль сдвига, а
b
V
и
b
D
— тензоры четвертого ранга, являющиеся соответственно объемной
и девиаторной составляющими единичного тензора четвертого ранга
b
I =
b
V +
b
D
. Компоненты этих составляющих, определенные в прямо-
угольной системе координат
O
x
1
x
2
x
3
, имеют вид [ 1 ]
V
ijmn
=
δ
ij
δ
mn
/
3
,
D
ijmn
= (
δ
im
δ
jn
+
δ
in
δ
jm
)
/
2
−
V
ijmn
, i, j, m, n
= 1
,
2
,
3
,
где
δ
ij
— компоненты единичного тензора второго ранга (символ Кро-
некера:
δ
ij
= 1
при
i
=
j
и
δ
ij
= 0
при
i
6
=
j
). Из этих формул с учетом
правила суммирования слагаемых по повторяющимся в сомножите-
лях латинских индексах и равенства
δ
ii
= 3
следует
V
ijmn
V
mnkl
=
V
ijkl
,
D
ijmn
D
mnkl
=
D
ijkl
и
V
ijmn
D
mnkl
= 0
,
k, l
= 1
,
2
,
3
, т. е.
b
V
∙ ∙
b
V =
b
V
,
b
D
∙ ∙
b
D =
b
D
,
b
V
∙ ∙
b
D =
b
O
4
,
(2)
где
b
O
4
— тензор четвертого ранга с нулевыми компонентами, а каждая
из точек между сомножителями в произведении тензоров означает
свертывание по индексу, одинаковому в обоих сомножителях [ 2 ].
32 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2014. № 6
