Заданные упругие характеристики изотропной матрицы можно
представить аналогично формулам (1) тензорами четвертого ранга
b
C
◦
= 3
K
◦
b
V + 2
G
◦
b
D
,
b
S
◦
= 1
/
(3
K
◦
)
b
V + 1
/
(2
G
◦
)
b
D
.
(3)
Тензор четвертого ранга имеет два линейных инварианта. Для тензо-
ров
b
V
и
b
D
с учетом правила суммирования слагаемых по повторяю-
щимся латинским индексам и формул (2) эти инварианты имеют вид
V
iimm
= 3
,
V
imim
= 1
,
D
iimm
= 0
и
D
imim
= 5
. Тогда инварианты
тензоров
b
C
и
b
S
с учетом формул (1) можно представить в виде
b
C
∙ ∙ ∙ ∙
b
V =
C
iimm
= 9
K,
b
C
∙ ∙ ∙ ∙
b
D =
C
imim
−
C
iimm
/
3 = 10
G,
(4)
b
S
∙ ∙ ∙ ∙
b
V =
S
iimm
= 1
/K,
b
S
∙ ∙ ∙ ∙
b
D =
S
imim
−
S
iimm
/
3 = 5
/
(2
G
)
,
(5)
где
C
ijmn
и
S
ijmn
— компоненты тензоров
b
C
и
b
S
соответственно, опре-
деленные в системе координат
O
x
1
x
2
x
3
.
Осредненные по представительному объему
V
локальные значения
ˆ
σ
(
M
)
и
ˆ
ε
(
M
)
тензоров второго ранга соответственно напряжений и
деформации в окрестности точки
M
2
V
имеют вид
h
ˆ
σ
i
=
1
V
0
Z
V
0
ˆ
σ
(
M
)
dV
(
M
)
h
ˆ
ε
i
=
1
V
0
Z
V
0
ˆ
ε
(
M
)
dV
(
M
)
,
где угловые скобки обозначают операцию осреднения. Модули упру-
гости
K
и
G
композита, связывающие эти осредненные тензоры и
называемые эффективными, определяют тензоры
b
C
и
b
S
в формулах
(1). Введем эти тензоры из условия равенства объемной плотности
потенциальной энергии деформации в изотропной среде и в реальном
композите [ 3 ]:
1
2
h
ˆ
ε
i ∙ ∙
b
C
∙ ∙h
ˆ
ε
i
=
1
2
h
ˆ
σ
i ∙ ∙
b
S
∙ ∙h
ˆ
σ
i
=
1
2
V
Z
V
ˆ
ε
(
M
)
∙ ∙
ˆ
σ
(
M
)
dV
(
M
)
,
(6)
где
ˆ
σ
и
ˆ
ε
— тензоры напряжений и деформации, описывающие ис-
тинное напряженно-деформированное состояние в представительном
объеме композита, удовлетворяющее условиям равновесия и совмест-
ности деформаций. Тензоры
b
C
и
b
S
, характеризующие упругие свой-
ства композита, подлежат оценке на основе того или иного подхода.
Вариационный подход.
При отсутствии объемных сил и задании
кинематических граничных условий на поверхности, ограничивающей
объем
V
, функционал Лагранжа, достигающий минимума на истинном
распределении перемещений в замкнутой области
V
=
V
∪
S
, имеет
вид [ 3, 4 ]
J
1
=
1
2
Z
V
ˆ
ε
(
M
)
∙ ∙
b
C (
M
)
∙ ∙
ˆ
ε
(
M
)
dV
(
M
)
, M
2
V,
(7)
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение” 2014. № 6 33
