При существенном различии упругих характеристик матрицы и
включений представленные двусторонние оценки могут привести к
значительному различию значений, соответствующих верхней и ниж-
ней границам. Один из подходов, дающий возможность уточнить упру-
гие характеристики рассматриваемого композита, основан на методе
самосогласования [1, 5, 6 ].
Метод самосогласования.
Оценка упругих свойств композита с
шаровыми включениями методом самосогласования состоит в учете
взаимодействия отдельно взятого элемента неоднородности (включе-
ния или частицы матрицы) с однородной изотропной средой, име-
ющей искомые оцениваемые модули упругости [ 7 ]. Это позволяет
найти отклонения в распределениях деформаций и напряжений в этих
элементах относительно однородных распределений в изотропной сре-
де. Последующее осреднение этих отклонений по представительному
объему композита приводит к расчетным зависимостям для искомых
упругих характеристик.
В силу неопределенности формы частиц матрицы, связывающей
в композите шаровые включения при их хаотическом расположении,
примем в качестве средней статической эту форму шаровой. Взаимо-
действие упругой изотропной шаровой частицы матрицы с изотропной
окружающей средой c искомыми упругими характеристиками компо-
зита определяют соотношения [ 4 ]
ˆ
ε
◦
=
b
u
◦
∙ ∙
ˆ
ε
0
,
Δˆ
σ
◦
= ˆ
σ
◦
−
ˆ
σ
0
=
b
v
◦
ˆ
ε
0
,
(11)
где
ˆ
ε
◦
и
Δˆ
σ
◦
— тензоры, характеризующие отклонения деформации и
напряжений в частице от однородного напряженно-деформированного
состояния представительного объема композита (это состояние опре-
деляют тензоры
ˆ
ε
0
и
ˆ
σ
0
соответственно),
b
u
◦
= (
b
C
◦
−
b
C+
b
C
∙ ∙
c
W)
−
1
∙ ∙
b
C
∙ ∙
c
W
−
b
I
,
b
v
◦
= (
b
C
−
b
C
∙ ∙
c
W)
∙ ∙
b
u
◦
,
(12)
c
W = 3(1
−
ν
)
b
V
/
(1 +
ν
) + (15
/
2)(1
−
ν
)
b
D
/
(4
−
5
ν
)
,
а
ν
= 1
/
2
−
3
G/
(6
K
+ 2
G
)
— коэффициент Пуассона окружающей
среды.
Для анизотропного включения, свойства которого характеризует
тензор
b
C
(
ς
)
коэффициентов упругости, вместо формул (11) и (12) по-
лучим [ 4 ]
ˆ
ε
(
ς
)
=
b
u
(
ς
)
∙ ∙
ˆ
ε
0
,
Δˆ
σ
(
ς
)
= ˆ
σ
◦
−
ˆ
σ
0
=
b
v
◦
ˆ
ε
0
,
(13)
где
ˆ
ε
(
ς
)
и
Δˆ
σ
(
ς
)
— тензоры, определяющие отклонения деформации и
напряжений во включении с номером типа
ς
= 1
, N
от однородного
напряженно-деформированного состояния представительного объема
композита,
b
u
(
ς
)
= (
b
C
(
ς
)
−
b
C+
b
C
∙∙
c
W)
−
1
∙∙
b
C
∙∙
c
W
−
b
I
,
b
v
(
ς
)
= (
b
C
−
b
C
∙∙
c
W)
∙∙
b
u
(
ς
)
.
(14)
36 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2014. № 6
