где
b
C
— тензор, соответствующий локальным значениям коэффици-
ентов упругости матрицы и включений в объеме
V
. Этот функционал
допустимо рассматривать на непрерывных и кусочно дифференциру-
емых по пространственным координатам распределениях перемеще-
ний, удовлетворяющих кинематическим граничным условиям. Тогда
при допустимом однородном деформированном состоянии, определя-
емом тензором
ˆ
ε
0
=
h
ˆ
ε
i
с компонентами
ε
ij
=
const, с учетом формул
(6) и (7) и равенства
ˆ
σ
=
b
C
∙ ∙
ˆ
ε
, опустив обозначение точки
M
2
V
,
можно записать
1
2
Z
V
ˆ
ε
0
∙ ∙
b
C
∙ ∙
ˆ
ε
0
dV
>
1
2
Z
V
ˆ
ε
∙ ∙
b
C
∙ ∙
ˆ
ε dV
=
V
2
h
ˆ
σ
i ∙ ∙h
ˆ
ε
i
=
V
2
ˆ
ε
0
∙ ∙
b
C
∙ ∙
ˆ
ε
0
.
Отсюда следует неравенство
1
V
Z
V
b
C (
M
)
dV
(
M
)
>
b
C
, M
2
V,
которое после полной свертки с тензорами
b
V
и
b
D
с учетом формул (4)
будет эквивалентно двум неравенствам, содержащим линейные инва-
рианты тензоров
b
C
и
b
C
[ 3 ]:
1
V
Z
V
C
iimm
(
M
)
dV
(
M
)
>
9
K,
1
V
Z
V
C
imim
(
M
)
−
C
iimm
(
M
)
3
dV
(
M
)
>
10
G,
где
C
ijmn
(
M
)
— компоненты тензора
b
C
, определенные в системе ко-
ординат
O
x
1
x
2
x
3
. Подынтегральные функции в этих неравенствах ку-
сочно постоянны в пределах отдельно взятых включений и в матрице,
что позволяет представить верхние оценки
K
+
и
G
+
соответствующих
модулей упругости композита в виде
e
K
+
=
C
◦
V
+
1
9
K
◦
N
X
ς
=1
C
(
ς
)
V
C
(
ς
)
iimm
,
e
G
+
=
C
◦
V
+
1
10
G
◦
N
X
ς
=1
C
(
ς
)
V
C
(
ς
)
imim
−
C
(
ς
)
iimm
3
,
(8)
где
e
K
+
=
K
+
/K
◦
,
e
G
+
=
G
+
/G
◦
,
C
(
ς
)
ijmn
— компоненты тензора
b
C
(
ς
)
, а
C
◦
V
— объемное содержание матрицы в композите, причем
C
◦
V
+
N
X
ς
=1
C
(
ς
)
V
= 1
.
При отсутствии объемных сил и задании силовых граничных усло-
вий на поверхности, ограничивающей объем
V
, функционал Касти-
34 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2014. № 6
