лиано, максимизируемый на истинном распределении напряжений в
замкнутой области
V
, имеет вид [ 3, 4 ]
J
2
=
−
1
2
Z
V
ˆ
σ
(
M
)
∙ ∙
b
S (
M
)
∙ ∙
ˆ
σ
(
M
)
dV
(
M
)
, M
2
V,
(9)
где
b
S
— тензор, соответствующий локальным значениям коэффициен-
тов податливости матрицы и включений в объеме
V
. Этот функционал
допустимо рассматривать на статически возможных распределениях
напряжений. При допустимом однородном напряженном состоянии,
определяемом тензором
ˆ
σ
0
=
h
ˆ
σ
i
с компонентами
σ
ij
=
const, с уче-
том формул (6) и (9) и равенства
ˆ
ε
=
b
S
∙ ∙
ˆ
σ
, опустив обозначение
точки
M
2
V
, получим соотношение
−
1
2
Z
V
ˆ
σ
0
∙ ∙
b
S
∙ ∙
ˆ
σ
0
dV
6
−
1
2
Z
V
ˆ
σ
∙ ∙
b
S
∙ ∙
ˆ
σ dV
=
=
−
V
2
h
ˆ
σ
i ∙ ∙h
ˆ
ε
i
=
−
V
2
ˆ
σ
0
∙ ∙
b
S
∙ ∙
ˆ
σ
0
.
Отсюда следует неравенство
1
V
Z
V
b
S (
M
)
dV
(
M
)
>
b
S
, M
2
V,
которое после полной свертки с тензорами
b
V
и
b
D
с учетом формул
(4) будет эквивалентно двум неравенствам, включающим линейные
инварианты тензоров
b
S
и
b
S
[3]:
1
V
Z
V
S
iimm
(
M
)
dV
(
M
)
>
1
K
,
1
V
Z
V
S
imim
(
M
)
−
S
iimm
(
M
)
3
dV
(
M
)
>
5
2
G
,
где
S
ijmn
(
M
)
— компоненты тензора
b
S
, определенные в системе ко-
ординат
O
x
1
x
2
x
3
. Подынтегральные функции в этих неравенствах ку-
сочно постоянны в пределах отдельно взятых включений и в матрице,
что дает возможность представить нижние оценки
K
−
и
G
−
соответ-
ствующих модулей упругости композита в виде
e
K
−
=
C
◦
V
+
K
◦
N
X
ς
=1
C
(
ς
)
V
S
(
ς
)
iimm
−
1
,
e
G
−
=
C
◦
V
+
2
G
◦
5
N
X
ς
=1
C
(
ς
)
V
S
(
ς
)
imim
−
S
(
ς
)
iimm
3
−
1
,
(10)
где
e
K
−
=
K
−
/K
◦
,
e
G
−
=
G
−
/G
◦
,
S
(
ς
)
ijmn
— компоненты тензора
b
C
(
ς
)
.
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение” 2014. № 6 35
