Отсюда собственная энергия равняется
U
p
=
p
i
ε
i
.
Тогда с учетом (14) собственную энергию можно определить как
U
p
=
p
2
i
K
0
.
(15)
Использовав (6), запишем выражение для интенсивности собствен-
ных напряжений через обычные напряжения
p
i
=
1
√
2 (1 +
ν
)
1 + 2
ν
2
(
σ
2
xx
+
σ
2
yy
+
σ
2
zz
)
−
−
2
ν
(2
−
ν
) (
σ
xx
σ
yy
+
σ
yy
σ
zz
+
σ
zz
σ
xx
) +
+2(1 +
ν
)
2
(
σ
2
xy
+
σ
2
yz
+
σ
2
zx
)
1
2
.
(16)
Величина
p
i
— инвариант напряженно-деформированного состоя-
ния. Поэтому (16) запишем через главные обычные напряжения
p
i
=
1
√
2 (1 +
ν
)
1 + 2
ν
2
(
σ
2
11
+
σ
2
22
+
σ
2
33
)
−
−
2
ν
(2
−
ν
) (
σ
11
σ
22
+
σ
22
σ
33
+
σ
33
σ
11
)]
1
/
2
.
(17)
То, что интенсивность собственных напряжений
p
i
является инва-
риантом напряженного состояния, легко показать, преобразовав (17) к
виду
p
i
=
1
√
2 (1 +
ν
)
1 + 2
ν
2
I
2
1
σ
+ 2 (1 +
ν
)
2
I
2
σ
]
1
2
,
(18)
где
I
1
σ
=
σ
xx
+
σ
yy
+
σ
zz
;
I
2
σ
=
−
σ
xx
σ
yy
−
σ
yy
σ
zz
−
σ
zz
σ
xx
+
σ
2
xy
+
σ
2
yz
+
σ
2
zx
,
т.е.
I
1
σ
— первый, а
I
2
σ
— второй инварианты тензора напряжений.
Условие начала пластического течения.
Поскольку в начальной
стадии нагружения для металлов справедлив закон Гука, возникнове-
ние пластических деформаций однозначно определяется напряжения-
ми. На практике чаще всего пользуются двумя условиями: условием
наибольшего касательного напряжения (Треска – Сен-Венана)
max
{|
σ
11
−
σ
22
|
,
|
σ
22
−
σ
33
|
,
|
σ
33
−
σ
11
|}
=
σ
т
(19)
и “энергетическим” условием (Хубера –Мизеса)
(
σ
11
−
σ
22
)
2
+ (
σ
22
−
σ
33
)
2
+ (
σ
33
−
σ
11
)
2
= 2
σ
2
т
,
(20)
где
σ
т
— предел текучести при одноосном растяжении. Многочислен-
ные эксперименты показали, что условие (20) лучше выполняется для
поликристаллических тел в состоянии текучести, чем условие (19).
20 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2014. № 2
