σ
11
= (1 +
ν
)
σ
11
−
ν
1 +
ν
σ
;
σ
22
= (1 +
ν
)
σ
22
−
ν
1 +
ν
σ
;
σ
33
= (1 +
ν
)
σ
33
−
ν
1 +
ν
σ ,
(8)
т.е. приведенные напряжения с точностью до коэффициента
(1 +
ν
)
равны собственным напряжениям в направлениях, где отсутствуют
касательные напряжения.
Значение удельной потенциальной энергии
U
определяется рабо-
той обычных напряжений на соответствующих им деформациях, т.е. с
учетом правила суммирования по повторяющимся индексам
U
=
1
2
σ
ij
ε
ij
.
(9)
Согласно принятой схеме деформирования, удельную потенциаль-
ную энергию представим в виде
U
=
U
p
+
U
Q
,
(10)
где
U
p
=
1
2
p
ij
ε
ij
,
U
Q
=
1
2
Qε.
(11)
Величину
U
Q
будем называть энергией связи, а
U
p
— энергией
собственных жесткостей данного направления или просто собствен-
ной энергией. Легко показать, что для случая линейно-упругого тела,
который мы пока рассматриваем, величины
U
Q
и
U
p
являются инва-
риантами напряженно-деформированного состояния. Действительно,
согласно (1),
U
Q
и
U
p
пропорциональны соответственно первому и
второму инвариантам тензора деформации.
Чтобы доказать формулу (10), представим напряженное состояние
тела как результат последовательного приложения двух систем напря-
жений и вычислим конечное значение удельной потенциальной энер-
гии. Все зависимости будем устанавливать в направлениях главных
напряжений. Сначала приложим первую систему напряжений, соот-
ветствующую всестороннему растяжению или сжатию (все параметры
со штрихом),
p
— гидростатические компоненты тензора. Согласно (1),
(4), (5) и (11) будем иметь
σ
0
11
=
σ
0
22
=
σ
0
33
=
p
;
18 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2014. № 2
